Hidrológiai Közlöny 1997 (77. évfolyam)
1-2. szám - 3-4. szám - 4. szám - Szél Sándor: Háromkarakterisztikás numerikus módszer morfológiai folyamatok számítására
SZÉL S.: Háromkarakterisztikás numerikus módszer 205 míthatók legyenek. A következőkben leírjuk, hogyan kell számítási eljárásnuk harmadik lépését felcserélni, ha ezzel a módszerrel kívánunk dolgozni. Mozdulatlan mederfenék esetére valamint nyomás alatti áramlásra ezt a módszert korábban már kifejlesztettük (Szél, 1994). A Hermite-íé\e interpoláció helyett szóba jöhet a s/j/íVie-interpoláció, amely szintén harmadrendű interpolációs módszer és ugyanűgy az áramlási változók értékeinek valamint deriváltjainak folytonos (ún."sima") átmenetét biztosítja, minden egyes számítási csomópontban. Ez a módszer alkalmazható Riemann-invariánsok nélküli és az azokat felhasználó számítási eljárások mindegyikénél de megjegyzendő, hogy a csomópontok számával azonos méretű egyenletrendszert szükséges megoldani minden időlépésben. A spline-féle interpoláció alkalmazása során, az adódó egyenletrendszer megoldására célszerű az űn. "doublesweep" eljárást (az egyenletrendszerek faktorizációs eljárását: Marcsuk, 1977) alkalmazni, ugyanis az egyenletrendszer együttható mátrixa csak háromátlós. Tetszőlegesen kicsi perturbáció (a leíró matematikai modellrendszer kis, periodikus megzavarása, gerjesztése) általában az [xt]-sík adott pontjaiból kiinduló mindhárom karakterisztika mentén terjed, de egy tetszőleges perturbáció részekre bontható, melyek mindegyike csak egy karakterisztika mentén terjed. A három karakterisztikus sebesség mentén terjednek a perturbációk Riemann-invariánsai (J u J 2 és J 3), amelyekre a következő összefüggések írhatók fel: ha. — = c u akkor. J, = állandó. (9) dt ha. — = c,, akkor. L = állandó. (10) dt ha. — = c,, akkor. A = állandó. (11) dt A számítás harmadik lépése a Riemann-invariánsok ismeretében elvégezhető, ugyanis az időlépés végére a talppontokban meghatározott három Riemann-invariáns lesz érvényes a számítási pontban, amelyek az áramlási változókat meghatározzák. Ehhez a számítási eljáráshoz szükséges a Riemann-invariánsok és az áramlási változók közötti összefüggés levezetése, továbbá az Riemann-invariánsok hosszirányú deriváltjainak előállítása és ezek karakterisztikus sebességek általi transzportjának számítása. Alkalmazások Először lökéshullám számítást végzünk szabadfelszínű csatornán, fenéksúrlódás nélküli és fenéksűrlódás melletti esetre, majd egy szuperkritikus résszakaszt tartalmazó szubkritikus csatorna medermozgását követjük nyomon. Lökéshullám számítás A kezdeti feltételben létrehozott vízfelszín szakadás, mint érintőleges szakadás (gátszakadás, zsiliptábla hirtelen nyitása) hatására létrejövő tranziens (időben gyorsan változó) jelenségek számítása a célunk, az általunk kifejlesztett és a fentiekben ismertetett numerikus módszerrel. Először egy kezdetben nyugalomban lévő egymástól zsiliptáblával elhatárolt víztestet vizsgálunk. Hirtelen megszűntetve az érintőleges szakadást és eltekintve a fenéksúrlódás csillapító hatásától létrejön egy, az alvíz (u 0=0, h 0 kezdeti vízsebessége és vízmélysége) irányába haladó lökéshullám, melyben (u, h vízsebesség és vízmélység alakul ki) a Froude-szám a felvízi ((7=0, H kezdeti vízsebesség és vízmélység) és az alvízi vízmélységektől függ. Kialakul ezen kívül még két gyenge szakadás (a felszíni érintő általában mozgó helyi törése) is, melyek egyike felvíz irányába halad (- (gH) 1/ 2 sebességgel) másika pedig a gyenge és erős szakadás között mozog (u-(gh) 1/ 2sebességgel), a Froude-számtól függő irányban és mértékben (ha a lökéshullám mögött Fr= 1, akkor ez a gyenge szakadás áll, ha Fr> 1, akkor a lökéshullámmal megeggyező irányban, Fr< 1 esetén pedig a másik gyenge szakadással azonos, vagyis felvízi irányba). Lökéshullámok jelenlétében végzendő morfológiai számítások során a karakterisztikák módszere nagyobb, a lökéshullám mögött kialakuló víztestben érvényes Froudeszámig alkalmazható kisebb hibával (ha a súrlódást is Figyelembe vesszük, akkor a pontosság tovább nő), mint a mozdulatlan mederfenék esetén (Fr^ ~ 1). A következőkben bemutatunk néhány számítási eredményt, melyben az előzőekben megfogalmazott problémát közelítjük az általunk kifejlesztett háromkarakterisztikás numerikus modellel. - Tekintsük egy végtelen széles (R~h), derékszögű négyszögszelvényű, zérus fenéklejtésű csatorna egységnyi (1 [m]) szélességű sávját, ahol: H= 10 fm], U=0 [m/s], h 0=l [m], u 0=0 [m/s], a fenéksúrlódás zérus (C-<»), továbbá Aí=l [s], A.c=100 [m], a hordalékdinamikai összefüggés: s = 0. lír. A számítás eredményeit két ábrán szemléltetjük, az 1. ábra a létrejövő folyadék- és fenékhullám terjedésének egy pillanatnyi helyzetét mutatja t= 100 [s]nál, míg a 2. ábra r=500 [s]-nál. Az említett ábrákon feltüntettük a Froude-szám hosszmenti alakulását is. Megjegyezzük, hogy a számításban szereplő hordalékhozam összefüggés a valóságban előforduló hordalékhozamoknál nagyobb. A számítási eredményeket analitikus számítási eredményekkel is összevetettük, mely szerint az analitikus eszközökkel számított, lefelé haladó fenékhullám hullámmagassága (Az=0.5488 [m]) 9%-kal megha10 [»] Tine 100 Cs] h 1 UJ Fr / O 1) h i) rá 1) x [km! 1. ábra: Folyadék- és fenékhullám levonulása, fenéksúrlódás nélküli esetben.
