Hidrológiai Közlöny 1997 (77. évfolyam)

1-2. szám - 3-4. szám - 4. szám - Bakucz Péter–Zsuffa István: A domboldalak permanens talajvízáramlása

] 194 HIDROLÓGIAI KÖZLÖN

Y 1997. 77. ÉVF. 3. SZ. k * [

df(

x

) . df(x + dx

)

] + ^ ép

(H(x

).

f(x)

) * d

x _ dx dx -Bo*é

r<H<x

)~

I(x

>'

h"

)*dx Az egyenletet dx-szel osztva a domboldalon kialakuló talajvízáramlási egyenlet végleges formáját kapjuk: *

d

2(f(x)) + Co*é * -P(H(x)-f(x)-h,

r) d(xf -Bo* é

r(H(x

)~

f(x

)~

h"

> = 0 A kapott egyenlet nemlineáris, hiányos, másodrendű differenciálegyenlet. Az egyenlet peremfeltételei: df(x) _ „ ha x = 0, akkor: U ha x = L, akkor: dx df(x) _ dx = 0 ahol L a vizsált metszetvonal végpontja. Megoldás A differenciálegyenlet megoldását numerikus formában keressük. A numerikus megoldás jelen esetben azt jelenti, hogy a fenti folytonos változójú problémát térbeli diszkrét vonal mentén közelítjük. E diszkrét vonalat az Xi — Xo + it(ieN) alakban értelmezzük, ahol i a vonal menti lépésközt jelenti. A numerikus megoldás előállítása során kiszámítandók a vonal mentén definiált vonal-függvény diszkrét értékei oly módon, hogy ezek az eredeti egyenlet megoldását jól közelítsék. Jelen esetben a diszkrét egyenletet a véges differenciák módszerével közelítjük, azaz a deriváltakat véges differenciákkal íijuk le. A numerikus vonal-függvénnyel szemben támasztott követelményünk, hogy a vonal diszkretizálás határátmenetben alapja legyen az eredeti folytonos függvénynek. E szempont megvalósíthatatlansága okozója annak, hogy a pontatlanságot értékkel látjuk el, s megfogalmazhatóvá válik a stabilitás követelménye. A völgyoldalon kialakuló stacionárius talajvíz-áramlás egyenletének alakja: d

2(f(x)

) + Co * e-p(H(x)-f(x)-h„) _ d(x f k B

ű * -y(H(x)-f(x)) * Yh„ - Q k A [0,L] intervallumon t értékű diszkretizálást értelmezve a következő véges differencia-egyenlet nyerhető: r

+l y * r-m+l /.m+7 l+J J t J l-l _ = C*

0 * p-P(»(xi)-f

m,) + Bo h"

' * r*H(

x

l)-f'*

i k k . Bo » -y(H(x)-f(x)) * y

h

í, - n k Az egyenletet felírva a diszkretizált vonal minden egyes, az előzőekben definiált helyére N-l ismeretlenre: N-l lineáris algebrai egyenlet nyerhető. Az i-edik egyenletben fj, fj_i, f+i ismeretlenek kapcsolódnak össze. Eképpen a lineáris egyenletrendszer mátrixa tridiagonális. Látható még, hogy az f függvény előjelére tett kikötés miatt a mátrix szigorúan diagonális domináns is: az egyenletrendszer egyértelműen megoldható. A megoldáshoz több ismert módszer (pl. a Gauss eliminációs eljárás, stb.) alkalmazható. Kérdéses az egyenletrendszer kezdő és végső értékeinek meghatározása. A vonal első és második eleme között fennáll: frfo U dx 2 d(x)

2 [ J az f

0 helyen való Taylor sorba fejtés. Az elsőrendű differenciába való helyettesítés után: f i~ f

o _ d f

0 t dx Figyelve a másodrendű tagot, írhatjuk: LY

± = f!+t

2*f

/

/+o(

t

2) ahol F(x) jelenti a másodrendű tag kifejtése során az egyenlet jobb oldalát. Végül, a kezdeti feltétel kifejtése: 4 azaz, a differenciálegyenlet o(t) rendű közelítése a kezdeti és a végső pontokban is megmarad. A terepvonal értelmezése A párolgási görbe értelmezésekor átsiklottunk a H(x) terepvonalat meghatározó függvény értelmezése felett. A H(x) kapcsolat meghatározása több kérdést is felvet. Nevezetesen van-e jogunk azt feltenni, hogy valóban létezik függvénykapcsolat a terepszint és az általunk kinevezett vonatkoztatási rendszer között? A válasz természetesm az lehet, hogy ez a vizsgálat szintjétől (makro-, mező-, mikro-szint) lügg. Tehát amikor a nagyobb területre való vizsgálatokat folytatunk egészen érdektelen egy analitikusan kezelhetetlen felszíni forma. A vizsgálódás mélyebb, mikroszintjén, pl. amikor a háromfázisú zóna fizikai viszonyait kívánjuk elemezni, kerülhet elő ez a kérdés. A H(x) kapcsolat esetünkben reguláris függvénnyel közelíthető. További kérdés az, hogy milyen módon tudjuk ezen input kapcsolatot megadni, s a numerikus, il-