Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)

1. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Hirtelen szelvénybővületnél kialakuló turbulens áramlások szimulálása perem-integrálegyenlet módszerrel

6 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. ÉVF. 1. SZ. l.Tétcl: A kettősréteg potenciál f2 belsejében kielégíti a Laplace-egyenletet. A r peremen ugrása van, éspedig, ha x egy tetszőleges perempont, és z->x, akkor (z-y)-n. J r í i

x-y| |z-y| (x-y)-n v(y Wy V(y)dT

y -(2;r-a(x))-Kx) ahol a(x) az x perempontban a perem belső törésszöge (a(x)=7i, ha történetesen /"sima x-ben). 2.Tétel: Az egyszerű réteg potenciál Í2 belsejében kielégíti a Laplace-egyenletet, a tartomány peremén pedig folytonos, azaz, ha x tetszőleges perempont, és z->x, akkor ("lógj j-w(y)cT flogj ]-w(y)í/r J

r l

z-y| J

r l

x-y| Ugyanakkor az egyszerű réteg potenciálnak a /"perem mentén vett normális irányú deriváltját a következő formula állítja elő: d d7, t i

x-y| - - rv

K3)Uí

y v x~y -í w(y)í/T + 7t-w(x) d r i — logj j-H-(y )dr = J x - y " -J 4 i*-y| (x-y)-n

A r l

x-y| Po/íjo/i-egyenletet, a r peremen pedig folytonos, azaz, ha x tetszőleges perempont, és z-»x, akkor Jlog^./Cy)^ -»• Jlog^t/íy)^ Legyen most már x egy tetszőleges perempont. A (15) egyenlőség mindkét oldalán elvégezve az említett z->x határátmenetet (ahol z belső pontja /3-nak), az előző tételek közvetlen alkalmazásával azt kapjuk, hogy 1 r(*-y) n

>, a(x) , , V(x) = -—J — ^ • V(yVT

y + (1 - • r(x) 2n r 1 l l yj ár (yyr y "Íí

lo

g II a 1 •y| co(yy/Q. (16) ahonnan némi rendezéssel azonnal adódik, hogy a peremre leszűkített i//és dy/ldn függvények kielégítik az alábbi perem-integrálegyenletef. a(x)K*) +j (x-y)-n -/

lo

gr I dy -y| ^ (17) ha a normális irányú deriváltat belülről vesszük, azaz Í2 belsejében fekvő z pontokkal tartunk x-hez. Ha ezt kívülről vesszük, azaz í2-n kívüli z pontokkal tartunk xhez, akkor a derivált kifejezésére más formula érvényes, éspedig -JloBj^jMyVa, Bevezetve az alábbi integráloperátorokat: C (x-y)-n

v í ^-Kyyr, r l

x-y| («***):= flogj^-f (yyr, (Z/Xx):= Jlogi-i-j-^yyQ, Röviden: a normális irányú deriváltnak ugrása van a peremen. A fenti formulák minden olyan x perempontban érvényesek, ahol /"sima (töréspontban a normális irány nem egyértelmű). 3.Tétcl: A logaritmikus potenciál az Í2 tartomány belsejében kielégíti a Ajlogj-^/Xy)^, = - 2af(x) a (17) egyenlet a következő tömör formába írható: a(x)-^(x) + (/:y/)(x)-(«^)(x) = -(Lco)(x) (18) c Modellünkben az co jobboldal pontszerű források szuperpozíciója, így (17) jobboldalán ténylegesen integrálni nem kell, és