Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)

5. szám - Bakucz Péter: A hidrodinamikai fraktál diszperzió

292 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1996. 76. ÉVI". 3. SZ.. ami a valószínűség megmaradását és a P(x) stacionaritását fejezi ki. Jelen esetben f,"

1 az f leképező függvény inverze. Látható, hogy a háztető leképezésre P(x) = 1. Kétdimenziós áramlás esetén a fázistérfogat megmaradása miatt nem léteznek attraktorok, így a mozgás periodicitását a kezdőfeltétel határozza meg. Esetünkben a mozgás porózus állapottéren zajlik le, amely valószínűségi skálán jellemezhető rendszertelenséget jelent. 2.2. Termodinamikai formalizmus A fraktálok számítástudományi szempontból olyan alakzatok, amelyek kódolhatók. A kódolás az adott memóriaterület gazdaságos felosztására szolgálhat. A hidrodinamikai diszperzió mintázatának digitális mátrixát az operációs rendszer négyfa-struktúrában tárolja. Ezen négyfa-struktúrát a további feldolgozás számára bejárási algoritmusokkal kell kiegészíteni. A bejárás fraktálgeometriai jellegzetességeket hordoz. A számunkra fontos információ a négyfa-geometriai struktúra által determinált helyein kereshető. A geometriai struktúra több szintes fraktállal adott, amelynek dimenziója megegyezik a laboratóriumi kísérlet által megkérdőjelezett de az elméleti vizsgálatok által egyértelmüsített, s általunk elfogadott valós számmal. Ismert a kezdeti^alakzat, és a rákövetkezési szabály, s ennek ismeretében tudjuk a mintázat számunkra fontos részhalmazát visszakeresni, illetve tárolni. Miután a matematikai formalizmusba fizikai paramétereket vittünk implicite, várható, hogy a tömörítés hatására az adattárolási igény számunkra kedvező módon redukálódik. Ezen törekvésünk elméleti oldalról találkozik a termodinamikai formalizmus eszközrendszerével olyképpen, hogy egy (mostani bemutatásunkban a Hilbert-, de általánosan tekinthető) fraktál szintjeinek valószínűségi mértéktérbeli értelmezése a termodinamika alapvető paramétereinek statisztikai megfelelőjét adja. Ez tehát azt jelenti, hogy az adattárolásunk során a termodinamikai formalizmust használjuk fel. « S 24 iX « 11 2* 13 39 U 31 •32 L 2 rt 3 J~l j-i •3 r 1 d TT fii <1 'Px 1 u irf 1 113 itt ti" P 1 n„ 1. ábra. A Tekintsük a Hilbert-fraktált (/ ábra). A Hilbert-fraktál ún. térkitöltő ív, azaz határátmenetben egy kétdimenziós alakzat minden pontján átmegy. A négyzet, ahol a Hilbert-fraktált értelmeztük négyfa struktúrával van felosztva. Ezt a négyfát kell a Hilbert-fraktál megfelelő szintjeivel bejárni. Jelen esetben úgy realizálható, hogy egy n-edik rekurziós szinten minden (i, j-vel jelzett) négyzet intervallumhoz hozzárendelhető egy kettes számrendszerbeli szám, aszerint, hogy a Hilbert-fraktál éppen milyen irányból érkezik, illetve milyen irányba hagyja azt el, tekintettel arra, hogy a négyfa elemeit kell a fraktállal bejárnunk. Kezdetben az egyes negyedekhez az C

f

c def: = {0001,0011,1110,0001} kódhalmazt lehet rendelni. Megállapodás szerint a bejárás az óramutató járásával ellentétes. Általában n-edik szinten az előző lépésben meghatározott kódokhoz a Ch -halmaz elemeit rendeljük, megfelelő forgatás után. Az n-edik lépésben 4" számú intervallum szerepel, s minden lehetséges kód előfordulhat. A Hilbert-fraktálon lehet mértéket is definiálni, mégpedig úgy, hogy az T\ = (0001,0011) e C

h párhoz a pi, az r

2 = (1110,0001) e Ch párhoz a p

2 = 1-pi valószínűséget rendeljük, majd rekurzívan ismételjük. Az n-edik lépésben r,

n, rí"'

1, r

2, ... intervallumokhoz rendre pi", p, , p2, .. valószínűség rendelhető. Az n -> oo esetben a kapott nem-folytonos eloszlás az ún. fraktál mérték (Beck és Schögl, 1992). Hilbert-fraktál A fentiek alapján belátható, hogy a fraktálok kódolása úgy történhet, hogy egyes részeihez egyértelműen hozzá rendelhető egy szimbólumsorozat. A hozzárendeléshez elég két dolgot figyelembe venni: 1. az alaphalmazt, a leíráshoz szükséges szimbólumok halmazát, és a 2. nyelvtant, azokra a szabályokra, melyek megadják milyen sorozatok fordulhatnak elő. A felosztással a fraktál elemek száma rohamosan, általában exponenciálisan növekszik: W(n) a exp (K* n) ahol Ko a fraktál dekódolására jellemző ún. topológikus entrópia (Tél, 1988). Tegyük fel, hogy a fraktál dekódolása megtörtént. Jelölje S|, s

2, s

3, ... s„ = (Sj) = Sj a dekódolásban előforduló valamelyik n hosszúságú szimbólumsorozatot. Az Sj elemek a 0,1, ... , k-1 értékeket vehetik fel, j = 1, ... , W(n) a szimbólum sorozatokat indexelő szám. Minden kódhoz tartozik egy doboz, amely lefedi a fraktál valamelyik részét. Ezek a dobozok természetes módon illeszkednek a fraktál struktúrájához. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a dobozok ddimenziós kockák. Válasszuk a fraktál lineáris méretét egységnek, s jelöljük annak a doboznak az élhosszúságát, amely az Sj kódhoz tartozik e 3 e(Si)-veI. Mivel n növelésével a dobozok egyre kisebbek lesznek, érdemes a távolságskálák olyan jellemzőjét bevezetni, mely véges marad n -> » határesetben. Ez az