Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. IV. Áramlási és transzportfolyamatok Langrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával
82 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI felfogható. Tekintsük az összenyomhatatlan folyadékokra vonatkozó nempermanens kétdimenziós Navier-Stokesegyenletrendszert (Németh (1963)): + t = 0 dx dy du du du . — + u— + v—_ - i>Au öt dx dy + 0 p dx (10) (11) komponensével, mely ismert az áramlási tartomány peremén. Ugyancsak Dirichlet-féle peremfeltétel tehető w-ra: gü peremen felvett értékei a peremen fellépő sebességgradiens ésszerű becsléséből nyerhetők. A későbbiekben vizsgálandó Kelvin-Helmholz-prob\éma esetén, mivel a jelenség lényege nem a peremek hatásában rejlik, egyszerűen az o)=0 peremfeltétellel számoltunk két pont kivételével: nevezetesen, az örvényréteg fel vízi ill. alvízi végpontjában w előírásával az örvényességet mintegy "beeresztjük" az áramlási térbe, ill. "kiengedjük" onnan. dv Tt dv dv dx dy — + u— + vn - rAv + — •— = 0 P dy A skaláris transzportegyenlethez hasonlóan, a (15)-(16) (12) egyenlet időbeli diszkretizálással partícionálható, de nem két, hanem három független részre: ahol u, v az x- ill. y-irányú sebességkomponensek, e a moolekuláris viszkozitási tényező, p a nyomás, p pedig a sűrűség. A (10) folytonossági egyenlet lehetővé teszi a \p áramfüggvény bevezetését (amennyiben az áramlási tartomány egyszeresen összefüggő: vö. sorozatunk harmadik dolgozatának megfelelő részével: Gáspár et al (1994c)). A \p áramfüggvény definíció szerint olyan függvény, mellyel az u, v sebességkomponensek az alábbi módon állíthatók elő: di U = —_ dy (13) (a) tiszta advekciós lépés: tyi->T/2__ tyi At + u dy dx + v (b) tiszta diffúziós lépés: , ,n + l , n+1/2 w — w a n +1 r\ - l>-Acü = 0 At (17) (18) (c) az áramfüggvényre vonatkozó Poisson-egyenlet: = -co" + 1 (19) Vezessük be továbbá az cü örvényfüggvényt is az alábbi formulával: co : = dv dx du dy (14) Minden egyes időlépésben (17)-(19)-et végrehajtva, az (u,v) sebességmezőt felújítjuk: n* 1 _ d\p 1 ni-1 ,n + l ír' af n +1 dx (20) A (11) egyenletet y szerint, a (12) egyenletet x szerint deriválva, a p nyomás könnyen eliminálható, és kapjuk, hogy: du) ~dt + u dói + v du ¥ - v-Aw = 0 (15) ami nem más, mint egy skaláris transzportegyenlet az us örvényességre nézve. Ugyanakkor (13)-(14)-ből azonnal adódik, hogy az időtől függetlenül mindig teljesül, hogy: A\p = — co (16) A megoldás technikája. Örvényrészecskék használata A Lagrange-i megközelítésben az w örvényfüggvényt nagyszámú, pontszerűnek tekintett örvényrészecskék együtteseként közelítj ük (Chorin (1973)). M atematikai lag ez az üj (x,y) « £ T k-8(x*= l -x k)ö(y-y k) (21) A (15)-(16) egyenletrendszer a (10)-(12) Navier-Stokesegyenlet örvényfüggvény-áramfüggvény alakja. A későbbiekben ezt a formát használjuk. Ha ip már ismert, akkor innen az u, v sebességkomponensek (13) direkt alkalmazásával nyerhetők. Megjegyzés: A (15)-(16) egyenletekhez természetesen peremfeltételeket is kell csatolni ((15)-höz még kezdeti feltételt is). Ez most nem magától értetődő. A részleteket elhagyva, a \p-re vonatkozó peremfeltétel Dirichlet-féle, azaz \p értékei előírhatók a peremen, méghozzá annak felhasználásával, hogy ip tangenciális irányú deriváltja (13) alapján megegyezik a sebesség normális irányú közelítést jelenti, ahol jelenti a £-adik örvényrészecske által szállított cirkulációt, ő pedig a D/'rac-eloszlást; (x k,y k) jelöli a /í-adik részecske aktuális pozícióját, mely természetesen függ az időtől. Az időtől való függést a dí "(w*)' ^ = * xk>yk) (22 ) (k= 1,2,...,AO karakterisztikus differenciálegyenlet-rendszer íija le. Ily módon az (a) advekciós rész Lagrangeféle értelemben megoldható a (22) egyenletek időbeli integrálásával (miközben a cirkulációk változatlanok maradnak). A legegyszerűbb Euler-módszert alkalmazva.
