Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

2. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. IV. Áramlási és transzportfolyamatok Langrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával

GÁSPÁR CS. et a!.: Új szemléletmód IV. 79 nagyszámú részecske szükséges az éles koncentrációfrontok lekezeléséhez. Fentiekből jól látszik a dilemma: a dolgokat némiképp egyszerűsítve mondhatjuk, hogy vagy Euler-féle (álló) koordinátarendszerben dolgozunk, és ekkor a numerikus diffúzió problémájával kell megbirkózni, vagy pedig (részben vagy teljesen) Lagrange-féle módszer (mozgó koordinátarendszert) alkalmazunk, és ekkor az advekción kívüli jelenségek (diffúzió ill. az áramfüggvényre vonatkozó Po/.wo/i-egyenlet) korrekt numerikus megoldása ütközik nehézségekbe. Megjegyzés-. Az (1) egyenlethez még kezdeti- és peremfeltételek csatolandók. Ez utóbbi általában Neumanntípusú, azaz a c koncentráció normális irányú deriváltját írhatjuk elő a peremen, mely a befolyó terhelésekből számítható. Az időváltozó szerint diszkretizálva, és felhasználva a szokásos operátor partícionálási fogásokat, az eredeti probléma minden egyes időszinten két különálló részproblémára bontható, éspedig: (a) egy tiszta advekciós lépésre: Dolgozatunkban a fenti dilemma feloldására egy több szempontól is igen jónak tűnő kompromisszumot javaslunk. A módszer lényege a következő. Kiindulunk a nempermanens operátor már említett, egy tiszta advekciós és egy teljesen advekciómentes részre való partícionálásából, az advekciós részproblémát Lagrange-féle módon kezeljük, azaz a koordinátarendszert mozgatjuk az advektív sebességgel. A mozgó pontoknak nem kell semmiféle struktúrával (rácsháló) rendelkezniük. A megközelítés újszerűsége az advekciómentes részprobléma kezelésében van, melyet olyan QT-hálón oldunk meg, melyet maguk a mozgó Lagrange-féle pontok generálnak, így, durván szólva, épp ott - és csak ott - sűrűsödik be, ahol azt a feladat természete megkívánja. Mivel a QThálók generálásának számításigénye viszonylag csekély (ld. sorozatunk első dolgozatát: Gáspár et al (1994a)), továbbá az advekciómentes részprobléma megoldása multigrid módszerrel lényegesen felgyorsítható, lehetségessé válik, hogy a QT-hálót minden időlépésben újraés újrageneráljuk, amellyel a teljes szimuláció számításigénye még mindig elfogadható marad. A konzervatív transzport ilyen modellezését illetően ld. még Gáspár et al (1991); síkáramlások áramfüggvény-örvényfüggvény formalizmusban való, fenti elgondoláson alapuló megoldását Gáspár és Józsa (1991) publikálták. Az eljárást egy-egy - többé-kevésbé idealizált - példán keresztül mutatjuk be. A transzport probléma esetében egy kezdetben ellipszis alakú, egyenletes koncentrációeloszlású "szennyezőanyag-folt" időbeli alakulását vizsgáljuk különböző advektív sebességmezőkben. Az áramlási problémánál a Kelvin-Helmholz-fé\e instabilitást modellezve, áramlásban lévő örvényréteg mozgását számítjuk. Az advektív diffúziós egyenlet és az operátor partícionálási eljárás Matematikai szempontból a problémát a következő, ún. advektív diffúziós egyenlet íija le: dc dc , dc j- r, i n — + u— + v— — dtvDgradc = 0 bt dx dt 6 (1) ahol c jelöli a transzportálódó anyag koncentrációját; (m, v) a divergenciamentes advektív sebességmező, melyet ismertnek tételezünk fel, és melyről az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy permanens; D a diffúziós tenzort jelöli. c

n+V

2-c

n dc" dc" + U + VA t dx dy (b) és egy tiszta diffúziós lépésre: cn +1 _

cn +1/2 A~t divDgradc"

+

1 = 0 (2) (3) melyet az idő szerint implicitnek tekintünk. A Lagrange-féle megközelítésben az (a) részproblémát mozgó koordinátarendszerben oldjuk meg, azaz bizonyos, kellően nagyszámú, koncentrációértékeket vivő (x ,y ) pontokat (w,v) sebességgel tovaszállítunk, ily módon ezek mozgását a karakterisztikus differenciálegyenletek íiják le: dx

p -ar = "

(W (4) Ú

yP < ^ UT = A (4) egyenlet idő szerinti integrálására a legegyszerűbb £«/er-módszert alkalmazva, a pontok új pozíciója az («+ l/2)-ik időszinten: n + 1/2 n . . n n. xp = xP + A'u(

x

P>y

P) p n (5) n + 1/2 n . , n n. y

p = x

p + Aív(vV Az (x

p,y

p) mozgó pontnak ehhez az új pozíciójához a c függvény régi értékét rendeljük hozzá: c

n+

v\x

n;

m,

y

n;

v

x) := c»(x;y

p

) (*) és ezzel az (a) lépés befejezettnek tekintett. A diffúziós részprobléma megoldása QT-hálókon végrehajtott multigrid módszerrel A probléma most már a (b) tiszta diffúziós lépés megoldása. Sajnos, a mozgó pontok struktúrája, ha egyáltalán volt is, menthetetlenül eltorzul a mozgással (kivéve egészen speciális eseteket, mint pl. a térben és időben egyenletes áramlás esetét). így azzal a problémával