Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
1. szám - Hankó Zoltán: Háromdimenziós hullámmozgás egy magányos pillér körül, nyílt felszínű csatornában. I. A hullámmozgás közelítő analitikai jellemzése
HANKÓ Z.: Háromdimenziós hullámmozgás 7 3. A fel vízi, a pillér melletti és az alvizi hullámmozgás összekapcsolódása (kivételes eset) 3.1 A keresztirányú összekapcsolódás Közvetlenül belátható, hogy a felvízi és a pillér melletti, valamint a pillér melletti és az alvízi hullámmozgásnak össze kell kapcsolódnia. Ennek egyik feltétele, hogy a keresztirányú hullámszámoknak meg kell egyezniük. Ebból következik, hogy ^LLLtt = 2fJL = ^SJiLír (3.1/a,b,c) IV W-b b egyenlőség fenn kell álljon. Ebben az összefüggésben a jobb szélső tag a pillér vastagságának megfelelő hullámszámot jelzi, aminek páratlan csomópont számúnak kell lennie; jelezve a pillér két oldala közötti fél periódusnyi időeltolódást. A pillér vastagságának megfelelő hullámszámot kiinduló (hibátlan) értéknek feltételezve, következik, hogy Pr 2q + 1 W-b (3.2) ahol q = 0,1,2,... és q = 0 jelzi az alapharmonikust, míg a q = 1,2,3,... az 1., 2., 3., stb. felharmonikus; tudva továbbá, hogy 2r +1(=)W; 2pÁ=)W-b és 2q+l(=)b (3.3/a,b,c) következik, hogy 2r+1 = 2(fi+q) +1, azaz f=p+q. (3.4/a,b) ahol mind s, mind q pozitív, egész szám, ráadásul s = = állandó és q = 0,1,2,... jelöli az alap- és az első-, második-, stb. felharmónikust. Figyelembe véve s geometriai jelentését kiderül, hogy k =k - 2g+ 1T (3.1/c) yHd) a) J~~ " ' tehát a keresztirányú hullámszámok egyenlősége (azonossága) formálisan is megjelenik. 3.2 Hosszirányú összekapcsolódás Az x = /, távolságban (a pillér felvízi csúcsánál) lévő keresztszelvénybe alvíz felől, a pillér mellett érkezik az u jelű hullámmozgás. Ennek egy csekély hányada (a keresztszelvény megváltozása következtében) visszaverődik; ez a d jelű hullámmozgás és ez távozik alvíz felé, az x = 4 szelvény felé. Az x = Z, szelvénybe érkező u jelű hullámmozgás döntő hányada tovább terjed felvíz felé (f jelű hullámmozgás). Az x = l x keresztszelvényben az u + d hullámmozgásnak szakadás és törés nélkül kell folytatódnia / jelű hullámmozgásként. Ez matematikailag is megfogalmazható (a vízfelszínre vonatkozó összefüggésekkel): [ír = Viu + Vidl x., és dx ÍV} =Viu+VÍd) (3,9/a,b) x-l, Figyelembe véve, hogy ([16] : [21] egyenlet): 1 V g d<t> + yd(j> dt dx (3.10) í-0 Fentiek szerint a felvízi (alvízi) hullámszám 2^1 2(^1 (3.5/ a,b) jM w w A jelenség egyszerűbb megvilágíthatósága érdekében tételezzük fel azt a (kivételes) esetet, amikor a csatorna szélessége a pillér vastagságának páratlan, egész számú többszöröse, azaz _^ = 2í + 1 és (3.6/a,b) b 2b következik, hogy 1 + W-b Uk xJ ív V 2q+ 1 cos-i-—iry • = ö„ 1+Uk.. 2q+l cos . iry • (3.1 l/a) Ebben az esetben p q=s(2q*l); 2r q+l = (2j +1)(2<? +1) pozitív egész szám, tehát (3.7/a,b) 1-. Uk •cos^iTrysinf^-g+ő^-a/] | , _ 2s(2q + 1)t t k _ (2s + \)(2q+\ ) n.S/a.b^ W-b yA") W továbbá
