Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
1. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. III. Sekély tavakban fellépő szélkeltette áramlások modellezése egyenlőtlen hálók használatával
22 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 1. SZÁM fáradságos. A probléma tipikusan egy szórt alappontú interpoláció (vő. Gáspár et al (1994a)), ahol az interpolációs alappontok térképről olvashatók le, vagy szintvonalas térkép digitalizálása útján nyerhetők. Itt a biharmonikus egyenlet közelítő, QT-hálón történő megoldásán alapuló interpolációs módszert alkalmaztuk. Ennek lényege a következő. Ha adottak az (JEj,^), ( x2>y2)>---' (^jv^/v) síkbeli alappontok és a hozzájuk tartozó ,/j 2,...,h N függvényértékek, akkor ezekhez egy igen jó tulajdonságokkal rendelkező interpolációs függvény adható meg az alábbi módon: legyen h=h(x,y) az a függvény, mely az áramlási tartományban (az alappontokon kívül) kielégíti a A Ah =0 0°) biharmonikus egyenletet, az interpolációs alappontokban pedig eleget tesz a h(x k, y k)=h k (*= 1,2 N) (11) interpolációs egyenleteknek. Az áramlási tartomány peremén - lévén ez a partvonal - a h függvénynek nyilván zérussá kell válnia. A probléma matematikáját és a megoldás technikáját nem részletezzük (erre nézve ld. Franké (1982); Gáspár és Simbierowicz (1992)), csak annyit jegyzünk meg, hogy mivel (10) nyilván ekvivalens a Aw = 0 20 cn/s 3. ábra. Számított permanens sebességmező 10 m/s állandó észak-északnyugati szél mellett Poisson-Laplace-egyenletpárral, ennek (közelítő) megoldása ugyancsak az adott QT-hálón, nagyon hatékonyan számítható az előző dolgozatunkban ismertetett multigrid módszerrel (Gáspár et al (1994b)). Magára a (9) áramlási egyenletre szintén az előző dolgozatban leírt módszert alkalmaztuk. A diszkretizáció cellaközéppontú sémákkal történt (Gáspár et al (1994b), (15) formula), a megoldásra pedig multigrid technikát használtunk. Megjegyzés: Ha lineáris fenéksúrlódást tételezünk fel, akkor a fentebb említett diszkretizáció és megoldási eljárás minden további nélkül alkalmazható. Kvadratikus fenéksúrlódás esetén az A együttható maga is függ (a p, q fajlagos vízhozamokon keresztül) a megoldástól, így (9) nemlineárissá válik i/'-re nézve. A probléma szokásos megoldása ekkor az iteratív javítás módszere: /1-nak valamilyen ésszerű közelítéséből kiindulva, megoldjuk (9)-ek úgy, hogy A-t i^-től függetlennek tekintjük, majd a \p megoldás ismeretében az A függvény értékeit felújítjuk, és az eljárást ismételjük. Még hatékonyabb megoldási módszer a nemlineáris egyenletekre alkalmazott multigrid módszerekben szokásos ún. FAS (Full Approximation Scheme: ld. Stílben és Trottenberg (1984)) -eljárás. Az említett eljárások részleteivel itt nem foglalkozunk. A 3.ábrán egy állandónak feltételezett, 10 m/sec erősségű észak-északnyugati szél által keltett állandósult cirkuláció sebességmezőjét mutatjuk be, a Keszhelyi-öböl térségében kinagyítottan is. A használt állandók: r = 4-104 m/sec, C=1.6-106 voltak. Az eredmények jól egyeznek korábbi, más módon származtatott számítások eredményeivel (Józsa (1990)). Nempermanens problémák, idő szerinti diszkretizáció Vizsgálva most már az (5)-(7) nempermanens egyenletrendszert, nyilvánvaló, hogy az előző esettel ellentétben, az idő szerinti diszkretizálásra is szükség van. Léteznek olyan megközelítések (Ewing et al (1991)), ahol a térbeli lokális finomítások helyein - de csak ott - az alkalmazott időlépést is csökkentik, éspedig a térlépés csökkentésével azonos mértékben. Ezzel a szükséges számítási munka számottevő mértékben redukálható, amennyiben a "finomhálós" cellák száma viszonylag kevés az összeshez képest. Ez a helyzet a QThálók esetében általában nem áll fenn: sokszor épp a legfinomabb cellák száma a legnagyobb. így tehát nem okoz jelentős veszteséget a számítási időben, ha az időlépés nagysága egységes az egész QT-hálón (ill. ez a veszteséget a QT-hálók alkalmazásának egyéb előnyei bőven kiegyenlítik). Az idő szerinti diszkretizálás szokásos módja, hogy az (5)-(7) egyenletekben fellépő dh/dt, dpldt, dq/dt idő szerinti deriváltakat rendre a
