Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon

GÁSPÁR Cs. et al.: Új szemléletmód II. 209 7. ábra. Multigrid módszer: mintafeladat megoldása 4 szinten javító hatása lényegében csak a perem közvetlen környezetében érzékelhető.) Látjuk tehát, hogy egy hatékony multigrid eljárás konstruálása nagy vonalakban a következő forgatókönyv alapján kell, hogy történjék: (a) definiálni kell egy alkalmas, egymásba ágyazott, egyre finomodó hálósorozatot; (b) a hálókat alkalmas leszűkítési és kiteijesztési operátorokkal kell összekapcsolni (lényegében függetlenül a konkrét megoldandó problémától) úgy, hogy az egyik hálóról a másikra való átmenet minél kisebb hibát okozzon a közelítésben; (c) mindegyik hálón jól kell approximálni a kiinduló feladatot. Miután a QT-algoritmus eleve egy egymásba ágyazott cellarendszert eredményez, eléggé természetes módon lehet a multigrid elvet alkalmazni QT-hálókon is. E két dolog össszekapcsolása (QT-hálók és multigrid) az, ami megközelítésünkben minőségileg új, és annak széles körű alkalmazhatóságot biztosít. Ennek részleteit tárgyaljuk a következő fejezetben: az egyszerűség kedvéért csak cellaközépponti sémákra szorítkozunk. Multigrid módszerek QT-hálókon Legyen definiálva egy QT-háló L legnagyobb felbontási szinttel: a további felbontásra már nem kerülő cellák (a reprezentáns fa-gráf „levelei") összessége, ill. ezek középpontjai alkossák a legfinomabb hálót. Hagyjuk el a cella rendszerből a legfinomabb (L-edik szintű) cellákat, azokat a megfelelő szülő-cellákkal helyettesítve: így nyerjük az eggyel durvább hálót, majd ebből elhagyva a legkisebb cellákat, nyerjük a még eggyel durvább hálót, és így tovább. A legdurvább „háló" ily módon a kiinduló Q

0 négyzet. Nyilvánvaló, hogy ezen hálók bármelyike maga is QT-háló, és mint cellarendszer, tartalmazza a nála durvábbakat: továbbá a QTalgoritmus egyidejűleg generálja az összes hálót (először a durvábbakat, majd a finomabbakat). A durvább hálók generálása tehát nem jelent külön feladatot, a QT-algoritmus mindenképpen szolgáltatja az összes hálót. Erre a hálósorozatra fogjuk most felépíteni a multigrid módszert. Megjegyzés: Az egyenletes hálók esetétől eltérően, egyes cellák egyidejűleg több hálóhoz is tartozhatnak. Következő lépésként, a hálók közötti kapcsolatot kell biztosítani alkalmas leszűkítési és kiterjesztési operátorokkal. Ehhez legegyszerűbben a (24) formulákkal adott, cella-központi sémákra definiált leszűkítést, ill. kiteijesztést használhatjuk. Mivel a sémák cella-középpontosak, a technika pontosan az, mint egyenletes hálók esetében. A (24)-ben adott leszűkítés a QT-cellarendszerek terminológiájában azt jelenti, hogy a szülő-cellához a gyermekekhez rendelt értékek egyszerű számtani közepét csatoljuk hozzá: a kiteijesztéskor pedig a szülőhöz