Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon

GÁSPÁR Cs. et al.: Új szemléletmód II

. 207 NWj Jl Wi NEi IL Et -SW—S-SEii Sl ™ SEj SWj (a) cella-csúcsponti sémákhoz NW NE C SW SE (b) cella-középponti sémákhoz 6. ábra. Jelölési vázlat a leszűkítés és a kiterjesztés definiálásához Ekvidisztáns, egyenletes háló esetén ezek a formulák a szokásos centrális differenciasémát adják vissza. Végezetül megjegyezzük, hogy nem elég olyan differenciasémákat találni, melyek jól közelítik az eredeti differenciáloperátort: ahhoz, hogy a módszer konvergens legyen (azaz a diszkrét megoldás bizonyos értelemben tartson a pontos megoldáshoz, ha a hálót minden határon túl finomítjuk), még azt is biztosítani kell, hogy a numerikus hibák a megoldás folyamán ne nőhessenek korlátlanul. Ez a módszer stabilitásának kérdése (nem tévesztendő össze az időfüggő feladatok sémáinak szokásos stabilitásával). Bebizonyítható, hogy a fenti sémák stabilis, ennélfogva valóban konvergens diszkretizációt eredményeznek. Ennek részletes tárgyalása meglehetősen bonyolult matematikai eszközöket igényel, ezért ezt elhagyjuk. A diszkretizált probléma megoldása multigrid módszerrel Idáig áttekintettük, hogy egy adott probléma (modellfeladatunk esetében a Laplace-egyenlet) megoldásához hogyan lehet alkalmas QT-hálót generálni, és azon hogyan állíthatunk elő egyszerű differenciálsémákat, azaz, hogyan lehet az eredeti, folytonos problémát diszkretizálni a QT-hálókon. Ily módon végül is egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk, melyben az ismeretlenek száma viszonylag mérsékelt. A módszer összes előnye elvész, ha ezen egyenletrendszer megoldására nem tudunk valóban gyors és hatékony eljárást találni. Ilyen módszert szerencsére sikerült kidolgozni, mégpedig az egyenletes, ekvidisztáns hálók esetére korábban bevezetett többhálós vagy multigrid módszer megfelelő általánosításával. Az alábbiakban most röviden összefoglaljuk a hagyományos multigrid módszerek alapgondolatát (bővebben ld. Stüben és Trottenberg 1984); (Hackbusch 1985), ill. magyar nyelven (Gáspár 1991). Multigrid módszerek ekvidisztáns hálókra Legyen egy ekvidisztáns, h lépésközű háló. és legyen X

H az a H: = 2h lépésközű durvább háló, melyet A"

h-ból minden második rácsvonal elhagyásával kapunk. Tegyük fel, hogy X

b-n megoldandó az ^h = fh (16) lineáris egyenletrendszer. Legyen x

h' ennek egy közelítő megoldása, és próbáljuk ezt megjavítani egy korrekciós taggal, azaz keressük az x

b megoldást : = + alakban akkor %

h-nak ki kell elégítenie az ún. maradékegyenletet: = r

h (17) ahol r

h az x'

h közelítő megoldás maradéka: r

h : = /„ - A

hx'

h (18) A multigrid módszerek első alapgondolata, hogy (17) maradékegyenletet nem az eredeti X

h hálón oldjuk meg (ekkor (17) megoldása az eredeti (16) egyenlet megoldásával azonos bonyolultságú), hanem a durvább Xn hálón, ami feltehetőleg sokkal kevesebb műveletet igényel. Pontosabban, definiáljunk a hálók közt egy leszűkítést és egy Q

H~JÍ

H-^X

h kiteij esztést: ezekután a (17) maradékegyenlet megoldása az X

H durva hálón az H = P h

rh (19) most már A^-beli egyenlet megoldását jelenti, ahol A

H az eredeti A

h egyenletrendszer valamilyen durvahálós approximációja. Jelölje ezek után ?h : = ÖH^H (20) és képettük a javított x\ + közelítést: ez általában jt'

b-nál sokkal jobb közelítés. A fenti korrekciós eljárás tetszés szerint ismételhető, míg kellően pontos megoldást nyerünk. A legegyszerűbb leszűkítés a pontonkénti értékadás, azaz a durva háló tetszőleges C rácspontja (amely egyúttal a finom hálónak is rácspontja!) esetén legyen (P„u)

c = U r (21) A leszűkítés egy másik lehetősége, ha súlyozott közepelést alkalmazunk (ld. a 6a. ábrát): (P

hu)c • =