Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
2. szám - Hankó Zoltán: Néhány gondolat a nempermanens, nyíltfelszínű vízmozgás egydimenziós számításáról
HANKÓ Z.: Nempermanens, nyfltfelszínu vízmozgás számítása 101 és a folytonosság feltétele: (2, s - a folyásirányú hosszkoordináta (független változó) [m], t - az időkoordináta (független változó) [s], v = Q/A - a középsebesség [m/s], Q - a vízhozam [m 3/s], A-a nedvesített keresztmetszeti terület [m 2], p - nyomás [kg/ms 2], p = 1000 kg/m 3 - a víz sűrűsége, g = 9,81 m/s 2 - a földi nehézségi gyorsulás normálértéke, 2 - az összehasonlító sík fölötti magasság [m], h v — az ellenálló erők okozta energiaveszteség [m]. Ha z - a vízfelszín magassági helyzetét jelöli, akkor p - p 0 - a légnyomás, ami a hossz mentén jó közelítéssel állandónak tekinthető, tehát „s" szerinti deriváltja zérus. Az energiaveszteség út menti fajlagos értéke a Chézy képletből fejezhető ki: d/iv v 2 IT-Er* aho1 (3 ) k - a meder simasági tényezője [m 1/ 3/s], R = A/P - a keresztszelvény hidraulikus sugara [m] és P - a keresztszelvény nedvesített kerülete [m]. Az időbeli változás átalakítható, éspedig dv dv ds őv . . ... — = — = — (v ± w) (4) dt ds dt ds y ' w ahol a már megismert jeleken felül w = VgA/B - a kis amplitúdójú, sekélvízi hullám relatív teijedési sebessége [m/s] és B - a nyílt felszínű víztükör szélessége [m]. Mindezeket figyelembe véve az (1) egyenlet: dv 0 2 n /i / \ + ^ + (l/a) Csatornázott, nyílt felszínű vízfolyások esetében sokszor a vízhozam időbeli változása ismert valamilyen határszelvényben. Ezért érdemes a sebesség, a vízhozam és a keresztszelvény nedvesített területe közötti összefüggés felhasználásával az (l/a) egyenletet a vízhozamra, mint függő változóra átalakítani. így ^ A 2 ~ AB ' ds ^ A 3 ~ A AB ^ ds Az (1/b) egyenlet a (2) egyenlettel együtt egy kétismeretlenes differenciálegyenletrendszer, amelyben a független változók: t fs] és s [m], a függő változók: Q [m 3/s] és z [m], míg A [m 2], P [m] és B [m] (a keresztszelvény jellemzői) paraméterek, melyek z [m] függvényei s [m] minden egyes értékénél. A véges differenciák alkalmazása a numerikus megoldás során A véges differenciák alkalmazását az úgynevezett négypontos megoldás teszi lehetővé. A hossz mentén az s h s^j szakaszt, míg időben a t p t lz ] időszakot kell figyelembe venni. Ennek megfelelően az (1/b) és a (2) egyenlet a következőképpen alakul.: [I(ttM.lfcUd), * Atj+i AT+ij+i _L 1 Qú+i l( t 2 VV^4f J+ 1 V^ytf+ij+i • (i4y+l -Ai+lj+l) + Zy+l + fLiíll . 2k{ l ±\ V , + )" r'±i>/+i (5) ^v+i öaj/n = fi<v - Q 1-1,1 + öv+i + (.Ay -A kj+1 + Aif', - AalJ+1^ — Sr-Si+1 <r'M (6) Az (5) egyenlet a fa idősíkon, az í, + hosszon írja le az (1/b) differenciálegyenletet differenciaegyenlet formában. A (6) egyenlet differencia egyenletként a hosszmenti tározási képesség és az időbeli tározási szükséglet egyenlőségét fejezi ki. Ha a számítás felvíz-alvíz irányban halad, azaz i után i+1 következik, akkor az (5) egyenlet bal oldalán az első két tag együtthatójában is a pozitív előjel érvényes; míg ha a számítás folyásiránnyal ellentetten halad, azaz i + i-1 irányban, akkor az (5) egyenlet bal oldalán az első két tag együtthatójában a negatív előjel érvényes. A kezdeti- és a határfeltétel A határfeltétel, a vízhozam-idő összefüggés lehet ismert mind a vizsgált szakasz felső (felvízi), mind az alsó (alvízi) végén. A következőkben a felvizi végén adott határfeltétel mellett mutatjuk be a kezdeti- és határfeltételek meghatározási módját. A t - t c időpontban, az s = s 0 felvízi határszelvényben ismert a Q = Q 0 0 = állandó vízhozam és a hozzá tartozó keresztszelvény jellemzői. Ebben az esetben a (6) egyenletben öí,j = öi+i,j és öí,j+i = Qi*i,j+i mert a vízhozam állandó (nem függ a helvtől), továbbá Ai,j = Ay+i és Ai+jj = A,+i J +i mivel az időpont nem változik. Tehát a (6) egyenlet azonosan egyenlő zérussal és az (5) egyenlet - a kezdeti feltétel - az alábbi, egyszerűbb alakot ölti: 1 _ r QÍ Q (i & AIO A!+ I,O Qo.o ( l l " 1 — • + — — 2 VgAíÖBtf V^lf +i,oB,vi,o . ^ (si-s M) Qj pfPtt PUi.O\ n, -^i+1.0) + zifi + r \~i% + ~~) ' z,+ 1.° " Ai, 0 Aí+1,0 2kh + 1
