Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

SZÉL S. - GÁSPÁR CS.: A Muskingum-Cunge eljárás 347 cióját oly módon, hogy a kinematikus hullám közelítésekor fellépő számítási hiba, a valóságostól eltérő ellapulás (diffúzió), a tényleges diszperzió által meghatározott ellapulási mértékkel egyezzen meg (ld. még Miller és Cunge, 1975). Elvégezte a numerikus operátor konzisztencia (pontosság) és stabilitásvizsgálatát a térbeli súlyozó paraméter megkötött értékére. Az időbeli súlyozó paraméter értékére egy erős stabilitási kritérium teljesíthetősége érdekében túlzottan szigorú előírásokat tett, ami számos esetben enyhíthető. Szél (1988) tanulmányában megállapítja, hogy a szakaszjellemzőkből adódó Péclet-szám - főként impulzustranszport esetén - jelentősen az egység alatt maradhat és ilyenkor a térbeli súlyozó paraméter nagy negatív értéket is felvehet. Ezt a felismerést tartalmazza Szilágyi (1991) tanulmánya is, amely annyival azonban kiegészítendő, hogy a súlyozóparaméterek (-2)-nél kisebbek is lehetnek. Ilyen esetekben a számítások ezen paraméterértékek mellett végezhetők el a valósághű leírás érdekében. Rátérünk a Muskingum-Cunge-séma részletesebb tárgyalására. A sémát az (időfüggő, egydimenziós) állandó együtthatós konvekciós-diszperziós egyenlet esetére vezetjük le. A differenciálegyenlet alakja: dt dx ax

2 (i) dx A (3) egyenletet az egyszerűség kedvéért a / > 0; x > 0 egyenlőtlenségekkel meghatározott negyedsíkon tűzzük ki. E negyedsík peremén az egyértelmű megoldhatóság érdekében mellékfeltételeket kell kitűzni, éspedig t = 0 mellett kezdeti feltételt, x = 0 mellett pedig peremfeltételt. A Muskingum-Cunge-séma a (3) formulával adott L differenciáloperátort a következő alakú véges differenciáloperátorral közelíti: _ e- (nki-HÖ + a-eHiffi-Mfr

1) L^.'C — + Q • (4"' - 4) + (l-Q) • (4+1 - + (4

) ahol a séma egy (tj,x

k) : = (/• t, kAx) (j>

k = = 0,1,2...) rácshálón értelmezett, A/, Ax a rácsállandók (idő- ill. térlépések): az e,0 számok később meghatározandó súlyozóparaméterek. (4) kifejezésében u a diszkrét «Í 0',*:- 0,1,2,...) értékek sorozatát jelenti, melyek az u(t

px

k) értékeket hivatottak közelíteni. így a (2) differenciálegyenlet diszkrét megfelelője az = 0 differenciálegyenlet, ami könnyen láthatóan az alábbi explicit rekurzióra vezet: "&t • = C

1-u

i

k + C

2- «í

+i + C

3 • uj

+1 ahol a Cj, C

2, C

3 együtthatók a következők: (5) C, C,: = C- e G3 Ax At C • (l-e) l-Q Ax At _

Ce l-Q Ax At C • (l-e) l-Q Ax Al C• (l-e) C%: = Ax At C • (l-e) 1-0 Ax + Al ahol u = u(í,x) az a fizikai mennyiség, melynek transzportját épp vizsgáljuk (pl. szennyezőanyag-koncentráció; vízhozam a diffúziós hullámmodellben stb.), C és D pedig a konvektív sebesség, illetve a diszperziós tényező. Az (1) egyenlet tömören az Lu = 0 (2) formába írható, ahol L az alábbi differenciáloperátort jelöli: Lu : = ^ + (3) Az (5) rekurzió menete a következő. A j=0 melletti M-értékek a kezdeti feltétel által adottak: minden rögzített j>0 mellett alkalmazzuk (5)-öt, rendre a k= 1,2,3... indexek mellett, majd ismételjük az eljárást az eggyel nagyobb j index mellett, és így tovább. így (5) jobb oldalának minden tagja az előző lépés (ill. a peremfeltétel) által már ismert. Ennélfogva (5) valóban explicit séma. Megjegyzés: A (4) formula explicite nem tartalmazza a másodrendű derivált approximációját. Ehelyett az e, 0 paramétereket fogjuk úgy meghatározni, hogy a séma ún. numerikus diszperziója egyezzék a fizikai diszperzóval, ami biztosítja, hogy az Lm,ax diszkrét operátor másodrendben( esetleg még harmadrendben is) közelítse az L differenciáloperátort. Ennek részleteit fogjuk tárgyalni a következólcben. A séma approximációjának vizsgálata Most megvizsgáljuk, hogy az (5) sémában szereplő súlyozóparamétereket hogyan kell megválasztani annak érdekében, hogy a diszkrét operátor - legalábbis a (2) egyenlet megoldásain - a lehető legjobban közelítse a folytonos differenciáloperátort. Legyen u(x,y) egyelőre tetszőleges , elegendően sokszor differenciálható függvény. Fejtsük M-t (kétváltozós) Taylor-sorba a (tj,x

k) pont körül a harmadrendű tagokkal bezárólag: 1 2 1 7 u(tj + + + -U„ • -t + u

a • + — Ux

x + + ~ ' Unt ' + T Uitx ' + ~ • Utxx T^ + ~ UXXK +••• (7) o l L o ahol a rövidség kedvéért a következő jelöléseket alkalmaztuk: u = u(t

p du , , U, = ~dt ^ d

2u . . és így tovább. A (7) sorfejtést alkalmazva rendre a ('> **+l)> (O+l' Xk)> (f/+l> xm) pontokra (azaz a x = 0, ^=Ax, a x= At, ill. a T=AÍ, 3§=Ax választások mellett), hosszabb számolás után nyerjük, hogy az diszkrét operátor az u