Hidrológiai Közlöny 1991 (71. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: Többhálós – multigrid – eljárással összekapcsolt peremintegrálegyenlet módszer, és annak szivárgáshidraulikai alkalmazása
GASPAR CS.: Tübbhálós — multlgrid — eljárás 293 X = IXf 1 * 2 ) 3. ábra. Jelölési vázlat a (1!))—(20) formulák számít tusához A jobb oldali összegekben levő integrálok analitikusan kiszámíthatók, a K és R magfüggvények konkrét alakjait behelyettesítve. Alkalmas lokális koordináta-rendszerben, melyet a 3. ábra szemléltet, hosszabb számolás után azt kapjuk, hogy a fenti integrálok értékei a következő kifejezésekből számíthatók: / K(x, y)dr y = - «(x) = - arc tg—Í-+ x, — a arc tg— < (19) (20) Visszahelyettesítve (12)-be, az egyenlőséget a F k szakaszok felezőpontjaiban megkövetelve, a (15) formulában szereplő együtthatók most már egyszerűen adódnak: K k j= J K((x k + x t+ l)l2,y)dr v rk R k j= J R((x k + x k+ l)l2,y)c\r v ,k Ugyanígy, a (16) formulában szereplő együtthatók egyszerűen számíthatók a (19) és (20) kifejezések deriváltjaiból. A szóban forgó deriváltakra a következő kifejezések adódnak: _d í)x J) Most már definiálhatunk egy igen egyszerű, de mégis jó hatásfokú multigrid technikát. Legyenek F 1, F 2,... r L egyre finomodó perem-diszkretizációk (hálók, jelen esetben poligonok), F 1 a legdurvább, F L a legfinomabb. Tegyük fel, hogy a legfinomabb diszkretizáció N perem-csomópontot tartalmaz, a durvábbak pedig rendre N/2, N/4, N/8,... csomópontot. Minden poligonhoz készítsük el a megfelelő diszkrét peremintegrálegyenletet (ennek műveletigénye összesen nem több, mint O^ 2)), és az egyes poligonokon hajtsuk végre a következő lépéseket: 1. A legdurvább hálón oldjuk meg pontosan a diszkrét perem-integrálegyenletet. 2. Vigyük át az így nyert durva hálós megoldást az eggyel finomabb hálóra, ez kezdeti közelítésként fog szolgálni a finomabb hálóhoz tartozó megoldásnak. 3. Alkalmazzuk néhányszor a (15)—(16) simító eljárást, és folytassuk az algoritmust 2.-től, mindaddig, amíg el nem értük a legfinomabb hálót. A teljes műveletigény nyilván 0(iV 2). Világos, hogy az eljárás pontos megfelelője a 3. részben említett fokozatos finomítási módszernek. Ugyanígy definiálható a multigrid ciklus stb. is. 5. Alkalmazás szabad felszín ű szivárgási problémára A fentebb leírt módszert alkalmaztuk a gáton keresztüli szabadfelszínű szivárgás klasszikus problémájára (2. ábra). A sebességpotenciál kielégíti a Laplace-egyenletet a szivárgási tartomány belsejében, a peremfeltételek pedig a következők: u =H í)u/()n =0 ii — max (y, // 2) F l mentén F 2 mentén 13 mentén 1 fk "l "o - f K {x,yy\F u=-^--^ jk Hasonlóan (esetleg hosszabb számítás árán határozhatók meg az együtthatók akkor is, ha az u és v függvényeket valamilyen más, pl. szakaszonként lineáris formában keressük. (21) az a priori ismeretlen helyzetű /' n szabad felszín mentén pedig két peremfeltétel is teljesül: u =y (22 a) í)u/í)n —0 (22 b) A szabad felszín jelenléte az egész problémát nem lineárissá teszi. Ennek meghatározását a jól ismert fokozatos közelítési módszerrel lehet elvégezni : valamilyen kiinduló szabadfelszín-közelítés mellett oldjuk meg a Laplace-egycn\etet a (21)—(22b) peremfeltételek mellett, majd korrigáljuk a szabad felszín helyzetét a (22a) egyenletnek megfelelően. Ily módon az iteráció minden egyes lépésében egy-egy kevert peremérték-feladatig kell megoldani. Ezt a szabad felszín-iterációt a következőképp kombináltuk össze a fentebb vázolt multigrid módszerrel. Megoldottuk a megfelelő diszkrét jierem-integrálegyenletet a legdurvább hálón, majd elvégeztük a szabadfeiszín-korrekeiót, végül a közelítő megoldást átvittük az eggyel finomabb hálóra. Ott végrehajtottunk néhány (15)—(16) által definiált simító eljárást, majd itt is elvégeztük a szabadfelszín-korrekciót, s. í. t. a legfinomabb hálóig. 4 különböző szintet használtunk, a legfinomabb hálónak 48 csomópontja volt, és minden szinten 3 simító lépést hajtottunk végre.
