Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

6. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós operátor matematikai vizsgálata

344 , HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF., 5. SZ

ÄM u I =0 r. (du 1,1 +—'"(l> -n) I { dn* 2 v ') 'r. 9 (28) Jelöljea(u, v) ill. b(u, v) a következő bilineáris funkcionálokat: a(u, v): = J a (k grad u) • grad v d íi b(u,v): = — j (b -u) -grad v dt) +— J «»(li iíjdr ü l-l Azt kaptuk, hogy ha u megoldása (4)-nek a (28) kevert peremfeltétel mellett, akkor az a(u,v)+b(u,v)= - Jgv dr+ J fvdü (29) 1' 2 lí egyenlőség teljesül minden, r

i mentén eltűnő v mellett ( jH

2 mentén v tetszőleges lehet). Igazolható ennek megfordítása is: ha uí\ mentén eltűnik, továbbá (29) teljesül minden, r

i mentén eltűnő v-ve, akkor u szükségképp kielégíti a (4) egyenletet és a (28) peremfeltételt is (Aubin, 1972). ' Elég tehát (29) megoldhatóságával foglalkozni. Megmutatható (Aubin, 1972), hogy a (29) funkcionálegyenlet megoldhatóságára a 2.4. Tételhez hasonló állítás érvényes; a megoldhatóság feltótele most az, hogy Re [a(u,u)-\-b(u,u)] = r»-||ii||

2 (30) teljesüljön minden F

1 mentén eltűnő u-ra, alkalmas pozitív, w-tól független konstanssal. A (9) egyenlőtlenség értelmében: a(u, u) a? • J" Igrad u |

2 dí). a (31) A jobboldal a Poíncaró-egyenlőtlenség egy élesítése (Gáspár, 1981) következtében alulról becsülhető: a(u, u) ä

«» • J" \u\* dO. a (32) Másrészt a (27) egyenlőség ós a divergenciatétel felhasználásával az adódik, hogy ö(m,m):= J (b -grad u)u dt)-J |«|

!(b-n)dr + 0 J\ + Y J |u |'(b •n)d/

,= -b(ü~üy r. ahonnan nyilván Re b(u,u) = 0 (33) következik. (32) ós (33) összeadásával pedig (30) adódik. Látható, hogy az első peremfeltétel esetében szereplő operátorok szerepét most ugyanolyan típusú (szimmetrikus, szigorúan pozitív definit ill. antiszimmetrikus) bilineáris funkcionálok veszik át. Az az eset, amikor f

1 mentén inhomogén peremfeltétel adott, ugyanúgy kezelhető, mint az inhomogén Dirichlet-féle peremfeltétel esetében. A (29) ún. „variációs egyenlet" közvetlenül alkalmas numerikus módszerek előállítására. Például, ha u-t alkalmas véges dimenziós altérben keressük, és (29)-et ugyanezen altórből vett u-kre követeljük meg, a Galjorkin-típusú módszerekhez jutunk (Simon és Baderko, 1983). Ennek részleteivel nem foglalkozunk. 5. Permanens konvekciós-difíúzi ós egyenlet szimmetrikussá transzformálása speciális esetekben Kivételes esetekben előfordulhat, hogy a konvekeiós-diffúziós egyenlet alkalmas függvénytranszformációval egyszerűbb alakra hozható. Megkülönböztetett eset, ha az új egyenlet szimmetrikus operátorral rendelkezik (abban az értelemben, hogy (5) teljesül), mert a szimmetrikus operátorok több előnyös tulajdonsággal rendelkeznek a nemszimmetrikusokkal szemben. így pl. ortogonális sajátfüggvényrendszerük lehet, amely szerinti sorfejtés különösen nempermanens feladatoknál lehet hasznos; másrészt, a konkrét numerikus módszerek általában öröklik az eredeti egyenlet szimmetriáját, és szimmetrikus mátrixú algebrai ill. közönséges differenciálegyenletek szintén jobban kezelhetők. Az alábbiakban három ilyen szimmetrizálást vázolunk. (a) Tegyük fel, hogy a k együttható konstans, a konvektív áramlás pedig potenciálos, azaz alkalmas cp sebességpotenciállal a konvekciós-diffúziós egyenlet — k-Au + gv&á 99-grad u = f (34) alakú. Keressük ekkor u-t u :=efl

2

k-U <fl2k alakban. Ekkor. — k-Au + grad cp • grad u = e " X x Igrad azaz U kielégíti a -k-AU + -^r\grad(

P\

2U=e-'

rlZ

k.f (35) egyenletet: a 2.1. Tétellel teljesen analóg módon levezethető, hogy a (35) baloldalán álló operátor a r-n eltűnő függvények körében szimmetrikus és szigorúan pozitív definit. Megjegyezzük, hogy ha a fenti e«

5/

2* faktor íi-ban túl szélsőséges értékeket vesz fel, akkor ez a módszer alkalmazásakor jelentős numerikus hibákat okozhat. Ez a helyzet konvekciódomináns transzport esetében. Megjegyezzük még, hogy a fenti transzformáció első peremfeltételt első peremfeltételbe visz; a (35) egyenlethez tartozó 7 dü k-dn=

g Neumann-féle peremfeltételnek pedig az eredeti (34) egyenletben a