Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel
GÁSPÁR CS.: A konvektív diffúziós egyenlet 287 (b) Kétdimenziós eset: t* c(x*) -u(t*, x*) = f ff { t, x ).— *— X o " ( |(x*-x)-b(<*-<) \ 2\ XeX Pl" 4k(t*-t) A-) dÜd t + r s 1 ( |(x*-x)-b/* \ 2\... () + / / 0 1' ^(-"^W" /"/ »X 8 7r&(/*-<) 2 (18) alapján végezhető el, x*-ot végigfuttatva Q belsejében). (h) A (18) sémát N szerinti rekurzióval oldjuk meg, azaz m = l,. . ., N mellett sorozatosan megoldjuk a c(x*)u m(x*) = I uo(x)w(t m, x*-x)dQ + 12 m + 2 / j= i o m egyenleteket, ahol most tj vi: = J w{tm -t,x* — x)dt (19) jobboldalán levő szummákban a indexekre az előző időlépések eredményeit használjuk fel. Az egyes időlépésekben nem szükséges kiszámítani a megoldást ü belsejében, viszont ahogy rn nő, úgy lesz egyre hosszadalmasabb a jobboldali szummák kiszámítása, lévén a peremintegrálok magfüggvényei minden időlépésben változnak. A térváltozók szerinti diszkretizálás szokásos módon történhet F részekre való osztásával. Az előforduló tartományon vett integrálok kiértékelése alkalmasan választott kvadratúraformuIákkal végezhető el. Megjegyezzük, hogy a (18), (19)-ben előforduló idő szerinti integrálok analitikusan is kiszámíthatók az, exponenciális integrál, ill. a hibafüggvény segítségével; részletesebben ld. Fernandes és Pina, (1982); Ikeuchi ós Onishi, (1983). Megjegyezzük továbbá, hogy az idődiszkretizáció stabilitása kérdésében a (18)—(19) sémák alapvetően implicit jellegűek, így jó stabilitási tulajdonságokkal rendelkeznek (Brebbia et al., 1984). Irodalom Aziz, A. K. (ed), 1972. The Mathematical Foundation of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations. Academic Press, New York. Brebbia, C. A„ Teiles, J. G. F., Wrobel, L. C., 1984. Boundary Element Techniques. Springer-Verlag, Berlin —New York Fernandes, J. L. M., Pina, H. L. G., 1982. Unsteady Heat Conduction using the Boundary Element Method. In: Proc. of the Fourth Int. Seminar on Boundary Element Methods in Engineering, Southampton, England, Sept., 1982. (Ed. C. A. Brebbia) Springer- Verlag, Berlin —Heidelberg —New York Gáspár Cs., 1982. Peremintegrálegyenlet-módszer alkalmazása szivárgási problémákra. Hidrol, Közi., 7. sz. Ikeuchi, MOnishi, K., 1983. Boundary Elements in Transient Convective Diffusion Problem. In: Proc. of the Fifth Int. Conf. on Boundarv Elements, Hiroshima, Japan, Nov. 1983. (Ed. C. A "Brebbia, T. Futagami, M. Tanaka.) SpringerVerlag, Berlin —Heidelberg —New York —Tokyo Vlagyimirov, V. Sz., 1979. Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe. Műszaki Könykiadó, Budapest Kézirat beérkezett: 1987. november 5. Közlésre elfogadva: 1988. április 1. 5. A nempermanens perem-integrálegyenletek diszkretizációja Tekintsük a (16), (17) perem-integrálegyenleteket. Ezek numerikus megoldásakor kézenfekvő a szokásos tér- és időszerinti diszkretizációt alkalmazni. Ezek egymástól függetlenül végezhetők el. Idő szerinti diszkretizációt nyerünk, ha a t n és t n+ 1 időpontok között u-t és du/dn-t — legegyszerűbb esetben — konstansnak tekintjük. Legyen az időlépések sorozata 0 = t 0 <... <ty = t* és jelölje u n ill. f n az n-edik időlépéshez tartozó közelítő megoldást, ill. jobboldalt, akkor (13) idő szerint diszkretizált megfelelője: c(x*)u N(x*) = J u°(x)v(0,x)dQ + a N N + 2 / f ividQ + 2 / x i=i a }=i r X [k~— • v> - hű • — u'v'b n\dr (18) , , l dn dn ) ahol Ü vi\ = O-i A (18) séma alkalmazása alapvetően kétféle módon lehetséges (Brebbia etal., 1984): ji:= j vdt. (a) A (18) sémát mindig N= 1 mellett, azaz egyetlen időlépésre oldjuk meg; az új időlépésben pedig az előző időlépés eredményét mint új kezdeti feltételt vesszük figyelembe. Nyilvánvaló, hogy ekkor minden egyes időlépésben nemcsak a — most már időfüggetlen — perem-integrálegyenletet kell megoldani, hanem a megoldást a teljes Q tartományon is ki kell számítani (mely ugyancsak
