Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel
284 HIDROLÓGIAI KÖZLCNY 198«. 68. ÉVF., 5. SZAM egyenletet az egész egy- ill. kétdimenziós térben. Itt x és x* egy-, ill. kétdimenziós pontokat jelölnek, öf ill. öx* pedig egy t* időpontra koncentrált (időtől függő), ill. egy x* pontra koncentrált (térváltozóktól függő) Dirac-impulzus. Ha sikerül ilyen G-t találni, akkor (1) megoldását G segítségével próbáljuk előállítani az / jobboldalból és a kezdeti-, ill. peremfeltételekből. Látni fogjuk, hogy ez az eljárás végül is olyan integrálegyenletre vezet, mely nem a teljes ü tartományon, hanem csak a r peremen van kitűzve. így „eggyel kisebb dimenziójú" egyenletet kell megoldani, ami sok esetben a numerikus számítási munka'csökkenését jelentheti a „tartománytípusú" módszerekhez képest, melyek a probléma közelítő megoldását a teljes ű tartományon állítják elő. Cr-nek szemléletes fizikai jelentése van: a t* időés az x* térpontban ható pontszerű pillanatnyi forráshoz tartozó eloszlás. így valóban várható, hogy ilyenek kombinációjából a megoldás előállítható. A (2) permanens egyenlet esetében (3)-ban értelemszerűen sem dGjdt sem <V nem szerepel. Általánosságban — a &-ra és b-re tett egyéb megkötések nélkül — (3) megoldása analitikusan nem lehetséges, numerikusan pedig rendkívül számításigényes. Megmutatjuk azonban, hogy ha (1), ül. (2) állandó együtthatós, ill. arra visszavezethető, akkor az alapmegoldás Fourier-transzformáció segítségével explicite kiszámítható. Állandó együtthatósra vezethető vissza a permanens kétdimenziós transzportot leíró (2) egyenlet, ha k konstans, b pedig permanens potenciáláramlás sebességmezője, azaz alkalmas b konstans és 9" potenciálfüggvény mellett h — b•grad y Jelölje ifi a q> potenciálfüggvényhez tartozó áramfüggvényt, és hajtsunk végre koordinátatranszformációt a (<p, y) függvénypárral, azaz keressük u-t a következő alakban: u(t, x v x.J = U[t, cp(xi, x 2), yi(x v x 2)]. Ekkor (2) a -k.AU + b-~=f. |grad <p |2 egyenletbe megy át, ami már állandó együtthatós. Ha (1) állandó együtthatós, de k mátrix, akkor válasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a bázisvektorok k sajátvektorainak irányába mutassanak: ezzel elérhető, hogy ebben a koordináta-rendszerben (1), ill. (2) alakja —k-Au + b -grad u=f (4) ill. — k-Au + b-gradw=/ (5) legyen, ahol k pozitív konstans. A továbbiakban csak a (4), (5) alakú egyenletekkel foglalkozunk. A (4) és (5) egyenleteknek megfelelő perem-integrálegyenlet konstruálása a Green-formulákon (Vlagyimirov, 1979) alapszik. Röviden vázoljuk a konstrukciót. (a) Permanens eset Ha u, v „elég sima" függvények, melyek ü-n értelmezettek, akkor a Green-formula szerint érvényes az alábbi egyenlőség: J ( — kAu + \) -grad u)vdü — si — J u(-kAv — b -grad v)dü = a = I (6 ) r A (6) egyenlőség közvetlenül a divergenciatételből vezethető le. Tegyük most fel, hogy u az (5) permanens egyenlet megoldása, v pedig legyen v(x) : = w(x*-x) (7) alakú. Itt x* az ü tartomány egy tetszőleges, rögzített belső pontja, a w függvény pedig legyen megoldása a -k-Aw + b • grad w = ö (8) egyenletnek, ahol ö az origóra koncentrált Diracimpulzus. v ilyen választása mellett ( — k-Av — b grad v) (x) = (—kAiv + + b • grad w) (x*-x) = ő x(x) Innen és (6)-ból az adódik, hogy J fvdQ-u(x*) = D = — f [k-^—v — kii-?-— uvb • nWF J { dn dn ) ill. átrendezve: u(x*) — J fvdQ + Í1 + f ík~v - -uvh • njr/r. (9) í• Ez a formula minden x* pontra érvényes, mely az ü tartomány belső pont ja. Megmutatható (Ikeuchi és Onishi, 1983; Vlagyimirov, 1979), hogy ha x* külső pont, akkor (9) jobboldala zérus, ha pedig x* a r határon fekszik, (9) jobboldala (2JT)1 x(x*)-u(x*) -gal egyenlő, ahol a(x*) a F perem belső törésszöge az x* pontban; ha r sima x*-ban, akkor a(x*) = = TI. (Itt jegyezzük meg, hogy (9) háromdimenziós tartományokra is érvényes; ez esetben, ha x* perempont, akkor (9) jobboldala (4JT)" 1 <x(X*).«(X*) -gal egyenlő, ahol a(x*) F „térbeli szöge" x*-ban, mely a következőképp definiálható:
