Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

4. szám - Gilicz András: Szivárgási áramképek meghatározása numerikus konformis leképzéssel

224 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF.. 4. SZÁM Szivárgási áramképek meghatározása numerikus konformis leképzéssel A kétdimenziós, permanens szivárgási feladatok vizsgálatának elterjedt és népszerű módszere a konformis leképezés. Ezen belül az egyik legfontosabb transzformáció a Schwarz—<7ftrisío//eZ-transzformáció. Hosszú ideig a nevezetes transzformáció bonyolultsága miatt főként elméleti szerepet játszott, ós csupán egyszerűbb feladatokra volt közvetlenül alkalmazható. A számítógépek megjelenése és a numerikus módszerek fejlődése napjainkban már lehetőséget nyújt ezen hasznos transzformáció hatékony alkalmazására. A tanulmány a Schwarz—(7/irtsio//eZ-transzformáció numerikus megvalósítását tárgyalja alkalmazási példák bemutatásával. szivárgás, konformis leképezés, Schwarz—Christoffel-tranaziormáeió, numerikus módszerek, számítógépes alkalmazás (Jilicz András Magyar Szénhidrogénipari Kutató Fejlesztő Intézet 8800 Nagykanizsa, Vár út 8. Kivonat: Kulcsszavak: 1. Bevezetés A kétdimenziós, homogén-izotróp közegben létrejövő permanens szivárgások vizsgálatának egyik elterjedt és népszerű módszere a konformis leképzés. Kétségtelen, hogy nem olyan általános, mint a véges differencia, a véges elem avagy a peremintegrál módszerek, de az egyszerűbb feladatok esetében kisebb erőfeszítéssel alkalmazható. Az eljárás célja a vizsgálati tartományt olyan alakzatra leképezni, amelyben a feladat megoldása már ismert — vagy könnyen előállítható —, majd az így kapott megoldás visszatranszformálása az eredeti tartományra. A konkrét feladatokban ez a szivárgási tér egyenes áramcsővé való transzformálását jelenti, mivel ebben a rendszerben a szivárgást leíró Laplace-egyenlet közvetlenül megoldható (Kovács, 1972), az áram- és potenciálvonalak ortogonális hálót alkotnak. Az irodalom kiterjedten foglalkozik a konformis leképzés módszerével (Bear, 1972; Harr, 1962: Kovács, 1972; Németh, 1963; Polubarinova—Kochina, 1962). E művekben számos leképzőfüggvény található, és szinte egyikükből sem hiányzik az egyik legfontosabb leképzési függvény, a sokszögleképzést megvalósító Schwarz—

Christoffel-transzformáció ismertetése sem. A bemutatott alkalmazási példák azonban gyakorlatilag csak egyszerűbb iskolafeladatokra korlátozódnak, nem utolsósorban azért, mert a transzformáció meglehetősen bonyolult, számításigényes. Jóllehet már több mint száz éve ismeretes, éppen bonyolultsága miatt hosszú ideig csupán elméleti jelentőségű volt. Gyakorlati alkalmazásához ugyanis meg kell határozni egyes paramétereit, ill. komplex integrálokat kell kiszámítani, ami — bizonyos egyszerűbb esetektől eltekintve — komoly nehézségeket támaszthat. Az egyre terjedő számítástechnika és a numerikus módszerek révén úgy tűnik, bogy a Schwarz—

Christoffel-transzformáció visszatérhet a hatékony mérnöki munkaeszközök szertárába (tíilicz, 1987). A jelen cikk célja a nevezetes transzformáció numerikus kezelésének és egy gát alatti szivárgási feladatra történő alkalmazásának bemutatása. 2. Módszer A cél tehát az egyenes szakaszokkal határolt sokszög alakú szivárgási tartomány átalakítása egyenes áramcsővé, mivel ott a potenciál- és áramvonalak ortogonális hálót alkotnak. Ehhez egy kettős transzformációra van szükség* (1. ábra): 7',: a. Schwarz—

Christoffel-transzformációra, amely a 2 síkon levő szivárgási tartományt a w komplex sík felső félsíkjára képezi le; T

2: a w = sn-t transzformációra, amely ezt a felső félsíkot egy a t síkon levő téglalapra transzformálja. (A vastag vonalak ki- és beáramlási peremeket jelölnek.) Az első transzformáció a z síkon elhelyezkedő poligont valamelyik oldala mentén felvágva a w síkra teríti oly módon, hogy az eredeti poligon csúcsai a w sík valós tengelyére kerüljenek. Így a poligon oldalainak a valós tengely, belsejének pedig a felső képsík felel meg. A poligon körbejárása az óramutató mozgásával ellentétes, az a

t paraméterek pedig növekvő sorrendben helyezkednek el a valós tengelyen. Közülük három szabadon választható. Figyelembe véve a második transzformációt, egy pontot az origóban veszünk fel, egyet a Re w— 1 pontban, egyet pedig a végtelenben. Ez azzal az előnnyel is jár, hogy a Schwarz—

Christoffel-formulában eggyel kevesebb tag fog sz-jrepehii. így kevesebb lesz a számítási igény is. Maga á'tmnszformáció a Schwarz—

Christoffel-formulával ejthető meg: ÍV . <#> w n . .i- • , z=C

1 J JJ(w—a,f >dw + C

2 (1) 0 i = 1 ahol az a, paraméterek a z tárgysíkon levő poli* A jelöléseket lásd a Függelékben.