Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
11. szám - Dr. Reimann József: Megjegyzések a korreláció- és regresszióelmélethez. I. Korreláció-elmélet
Dr. Reimann J.: Korreláció-elmélet Hidrológiai Közlöny 1983. 11. sz. 479 Egyszerű számítással kapjuk, hogy: í = f xdx = 0, £(!) = —— 2 Ji yr i í 0, ha n páros j i ha B áratla n -i n-\- 2 i | 0, ha n páratlan M(t)) = y f xMX= j_l_ ! Ekkor: i f x kdx = 1 2>({) = £+1 l M( |) = 1 1 ,ha n páros n +1 ha n páratlan. fÍ2 *<*>- Z -m «• = 0 Ezek alapján könnyű belátni, hogy ha n páros szám, akkor |") = 0, míg ha n páratlan szám, akkor k+ 2 Ezek alapján a í és r) közötti kovariancia könnyen adódik: m-f 2 0 bH y ra Jf(£.ij)-2f(É).jr(tj) = 2 Tehát példánkban a korrelációs együttható páratlan n esetében a kitevőnek monoton csökkenő függ- , , • , , , , „ . , . of lee munkaigényesebb: venye, páros n eseteben viszont a korrelacios ° J együttható zérus, annak ellenére, hogy szigorú függvénykapcsolat van a két változó között. Vegyük észre, hogy a fenti példában a páratlan kitevőjű parabola £-nek monoton növekvő függvénye és ez esetben a korrelációs együttható mutat kapcsolatot. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor a parabolának csak a monoton növekvő ágát tekintjük. Legyen | egyenletes eloszlású a [0,l]-intervallumban és i=o (jfc+l)(4+.2) Az r] változó szórásnégyzetének kiszámítása némii = 1 (i + 1) 2 2»+l 2 (litti t-j i<) (i+l)tf+l) i+j+1 • Abban az esetben, ha az rj = f( |) függvényt Taylor-polinommal közelíthetjük, a korrelációs együttható: e(í, •))=2* í: = 0 AD /( 0) (*+l)! i r v r /(ó> yn [ál ( i+1) ! /(o) /(o) Az utóbbi formula kiszámításához általában gépre van szükség. Megjegyezzük azonban, hogy a hidrológiai gyakorlatban a két változó közötti kapcsolatot ritkán ismerjük analitikus alakban. Rendszerint kétdimenziós mintából polinomiális regressziót számítunk. Amennyiben a síkbeli minta pont felhőjéhez jól illeszhető viszonylag alacsony fokszámú (pl. 5) parabola monoton ága, akkor a korrelációs együttható numerikus értéke jól jelzi a két változó közötti függést. Megjegyezzük, hasonló gondolatmenettel vizsgálható a korrelációs együttható viselkedése két olyan valószínűségi változó kapcsolatát illetően, amikor egyik változó periodikus függvénye a másiknak, s ígv trigonometrikus polinomok segítségével közelíthető. Megmutatható, hogy a korrelációs együttható invariáns a valószínűségi változók lineáris transzformációjával szemben. Legyen ugyanis e = a£ + b, 6 = Cíj + d, ekkor (»+1)1 0+1)1 i+j+1 M(e-ö)-M(e)M(ő) Q(e, &) = D(e)D(ö) - M[ ( aZ+b)(cri+d)]-M(aZ+b)M(cr)+d) D(a£+b)D(cr)+d) ~ M[(u!; + b)(cri+d)] = acM($ • r))+bcm 2+adtni+bd M(a£+b)M(cr)-\-d) = (am 2-\-b){cm 2+d) = = acm \ m 2+ bem 2+adm \-\-bd D\a£+b) = a-D 2(£) = a 2o 2; D 2(crj-\-d) — c 2Z) 2(rj) = <?a\, tehát ac\_M(£ • rj) — m\m 2] q(e, ö) = M(S. •r]) — m\m 2 a a 0 aco a 2 = e(£> V) (6)
