Hidrológiai Közlöny 1979 (59. évfolyam)
4. szám - Szöllösi-Nagy András: A lefolyás jelenségének modellezése és rövid távú előrejelzése Nash-féle kaszkádokkal
Szö}lősi-Nagy A.: A lefolyás jelenségének Hidrológiai Közlöny 1979. 4. sz. 165 dm dy d t dt' és ezt behelyettesítve (2a)-ba, kapjuk, hogy K^ +y(t)=x(t). (2c) Tehát ebben az esetben a tározó időinvariáns lineáris rendszer (v. ö.: (2). b) Legyen m=\, de K = K(t), (tehát S = K(t)y), ekkor behelyettesítve (2a)-ba: dy(t) dK(t) l (2d) tehát a tározó idővariáns lineáris rendszer. c) Legyen m?±\, de K = const (tehát S = Ky m) akkor dS(t) „ , dy dr =Kmy m~dt' behelyettesítve (2a)-ba: yKmy(t)m-iMl+y(t)=x(t), (2e) tehát a tározó idővariáns nem-lineáris rendszer. d) Legyen végül m?± 1 és K = K(t), (tehát S = = K(t)y m) akkor dS(<) dK(t) J.—.. , dy "dí -dT +í(í)m f it' behelyettesítve (2a) -ba: y(t) n d K(t) d t + K(t)my(t)' d t + y(t)=x(t) (2f) differenciálegyenletet kapjuk, amely nem lineáris és nem állandó együtthatójú, tehát ebben a legáltalánosabb esetben a tározó idővariáns és nemlineáris rendszer. Látható, hogy a (2a)-tól (2f) egyenletek a (2) differenciálegyenlet különleges esetei. Megjegyzés: Az S tározódást kifejezhetjük az x(t) és y(t) idősorokkal és azok deriváltjaival is: N = 1 av+1 p = 0 d ry(t) átr Af=l í = 0 A qx(t) dtfl 3. A kaszkádmodell felépítése és súlyfüggvényének meghatározása Láttuk, hogy az egyszerű egytározós rendszer viselkedését a (2a) differenciálegyenlet írja le. Az S(t) tározási függvény az adott x(t) bemenet ismeretében — elvileg — az y(t) kimenő idősor számítható — ez azonban általában igen bonyolult, különösen abban az esetben, amikor több egytározós rendszer van összekapcsolva. Ezért olyan megoldási módot kell keresnünk, amelynek ismeretében az összekapcsolt többtározós rendszer kimenete — tetszőleges bemenet hatására — viszonylag egyszerűen meghatározható. Azokat a megoldásokat — függvényeket —, amelyek ezt lehetővé teszik rendszerjellemző függvényeknek nevezzük. Ilyenek az átmeneti függvény és a súlyfüggvény [2]. Nash vízgyűjtő modelljét [7] a következő elvből kiindulva építette fel: a vízgyűjtőt érő csapadék egy egyszerű tározóba folyik be, az onnan kifolyó vízmennyiség képezi a második egyszerű tározó bemenetét, a második tározó kimenete a harmadik egyszerű tározó bemenetét, és így tovább. Tehát ez úgy képzelhető el, mint egyszerű tározók sorbakapcsolt (kaszkádszerű) sorozata. A feladat a sorbakapcsolt tározók rendszerjellemző függvényének meghatározása. Vagyis meghatározandó a teljes rendszer h(t) súlyfüggvénye (impulzusválasza), amelyet az x(t)=d(t) Dirac-delta függvény (egységimpulzus) bemenet okoz. Nash a vízgyűjtő modellt alkotó egyszerű tározókról feltette, hogy azok lineárisak és időinvariánsak, tehát működésük a (2c) egyenlettel írható le. Ha a vízgyűjtő egyszerű lineáris időinvariáns tározóval modellezhető, akkor a következőképpen határozhatók meg a rendszerjellemző függvényei: A rendszer g(t) átmeneti függvényét — az l(t) egységugrás bemenetre adott választ — a K^ +y {t) = l (t) (4) Ha a fenti egyenletet behelyettesítjük (2a)-ba, és— a rövidebb írásmód kedvéért — bevezetjük a D'= d*/d£' szimbolikus differenciáloperátort, akkor átrendezés után kapjuk, hogy M 1 + 2 6> D < y(t) = x(t), . (3) N 1+ ^ ajDí í amiből látható, hogy a rendszer operátorát (v. ö.:(l)) a „törtes" kifejezést jelenti. A (2c)—(2d) egyenletek képezik a különböző determinisztikus kaszkád-típusú vízgyűjtő modellek alapegyenleteit, oly módon, hogy a bonyolult vízgyűjtő-viselkedést egymással összekapcsolt tározók sorozatával modellezik. elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet (v. ö. (2c)) megoldása adja. A<<0 esetben y(t) = 0 — hiszen az okozat (kimenet) nem előzheti meg az okot (az l(t) bemenetet). Ez a fizikai megvalósíthatóság feltétele. A <>0 esetre, tehát a következő differenciálegyenletet kell megoldani: Első lépésként a K~cÜr^o-i. d Y(t) 1 V ' = Y(t) d t K ' (4a) (4b) lineáris homogén differenciálegyenletet oldjuk meg, amely szeparálható és a megoldás: Y(t) = ce (4c) Az inhomogén egyenlet megoldását az állandók variálásával határozhatjuk meg. Tehát a megoldást y(t) = c(í) e-tIK (4d) alakban keressük, ahol c(í) a t valamilyen — később meghatározandó — függvénye. Mivel feltételeztük, hogy (4d) meg-
