Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)
10. szám - Dr. Bogárdi István–Dr. Szidarovszky Ferenc: Játékelmélet alkalmazása a vízminőség gazdálkodásban
Dr. Bogárdi I.— Dr. Szidarovszky F.: Játékelmélet alkalmazása Hidrológiai Közlöny 1976. 10. sz. 461 IRODALOM [1] Neumann, J. von and Morgenstern : „Theory of games and economic behavior", 2 nd Edition, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1947. [2] Rogers, P.: ,,A game theory approach to the problems of international river basins", Water Resources Research, 8. 1969. [3] Vircol, A. and 0. Sumilov: „Use of game theory to dimensioning flood-control sturetures in the watershed Crisul Alb", Hidrotechnica, Vol. 16, No. 2, February, 1971. [4] Vágás I.: „Árvízvédekezési döntéseink játékelméleti alapjairól", Hidrológiai Közlöny, 1971. 12. sz. [5] Vágás I.: „Árvízi előrejelzés játékelméleti vonatkozásai". Hidrológiai Közlöny, 1972. 4—5. [6] Dégen Imre: „Ä vízgazdálkodás közgazdasági alapjai". Tankönyvkiadó, Budapest. 1972. [7] A Hajdúhátsági Többcélú Vízgazdálkodási Rendszer műszaki-gazdasági vizsgálata. VI KÖZ. Tanulmány, 1974. [8] Szidarovszky F.: „On the Oligopol Game", Marx. K. Közg. Egy. Mat. Tszk. kiadványa, 1970—71. [9] Szidarovszky F.: „Az oligopol játék csoportegyensúlypontjáról", Kézirat, 1973. [10] Szidarovszky F.: „Az oligopol játék csoportegyensúly problémája", Kandidátusi disszertáció, 1974. Budapest. [11] Szép J. és Forgó F.: „Bevezetés a Játékelméletbe", Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1973. [12] Szidarovszky F.: „Bevezetés a Numerikus Módszerekbe", Közgazasági ós Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1974. [13] L. Douglas James and Robert R. Lee: „Economics of Water Resources Planning", Mc Graw-Hill, 1971. [14] M. Mead, Montgomery ós Walter R. Lynn: „Analysis of Sewage Treatment Systems by Simulation", Proc. ASCE, Vol. 90, SA 1, pp. 73—97, February, 1964. [15] G. Graves, D. Pingry and A. Whinston: „Water quality Control: Nonlinear Programming Algorithm. Automatique Informatique Recherche Operationnelle, 6e Année, Oetobre 1972. [16] Clough D. J. and Bayes, M. B.: „Optimal Weste Treatment and Pollution Benefits on a Closed River System", Canadian Operatoinal Reserarch Journal, Vol. 6, No. 3. Nov. 1968. [17] Deininger, R. A.: „Water Quality Management? Economically Optimal Pollution Control System", Unpublished Ph. D. Dissertation, North-Western University, Evanston, Illinois, 1964. [18] Frankel, R. J.: „Economic Evulation of Water Quality; and Engineering Economic Model for Water Quality Management", SERL Report, No 65—3, University of California, Berkeley, Calif., Jan. 1965. [19] Graves, G. W and Whinston, A.: „The Application of a Nonlinear Algorithm to a Second Order Representation of the Problem", Centre d'Etudes de Recherche Opérationnelle, Volume 11, No. 2, 1969. [20 ] Graves, G. W. Hatfield, G. B. and Whinston, A.: „Water pollution Control Using By-Pass Piping", Water Resources Research, Vol. 5, No 1, Febr. 1969. [21] Graves, G. W., Hatfield, G. B. and Whinston, A.: „Water Pollution Control with Regional Treatment", Technical Report, Federal Water Pollution Control Administration. (Sajtó alatt.) [22 ] Graves, G. W., Pingry, I). E. and Whinston, A.: „Application of a Large-Scale Nonlinear Programming Problem to Pollution Control", American Federation of Information Processing Societies, Proceedings Fall Joint Computer Conference, Vol. 39, 1971. [23] Linaweaver, F. P. and Clark, C. S. : „Cost of Water Transmission", Journal of American Water Works Association, 1549—1460, Dec. 1964. [24] Loucks, D. P., Revelle C. S. and Lynn W. R. : „Linear Programming Models for Water Pollution Control", Management Science, Vol. 14, No. 4. Dec. 1967. [25] Shih, C. S., K. Garner and L. Curry: „Reliability and Economic Optimation for Urban Return Flows Management, Water Resources Bullertin, vol. 10, No. 1. Febr. 1974. [26] Streeter, H. W. and Phelps, E. B. : „A Sudy of the Pollution and Natural Purification of the Ohio River". U. S. Public Health Bulletin, No. 146. Febr. 1925. Függelék n. Vezessük be a «* = 2 x* jelölést. Minthogy az i= 1 i x(\sk-<n) értékek valamennyi xp k kifizető-függvény * * , maximumhelyei, ezért az (a: . . ,x n) pontokban a kifizetőfüggvények deriváltjai zérust adnak, vagyis x* tf'(s*)+f(s*)-K k(x*) = 0 (1 ^k^n) (F-l) A (8) és (9) dolgozatban tett feltételek fennállása esetén /'> 0, K' k pedig monoton növekedő függvény, így rögzített s* érték mellett az (F—1) egyenletek baloldalai ij-iüik szigorúan monoton csökkenő függvényei. Bebizonyítható [8], hogy D<s<C esetén x k értéke az (G—I) egyenletből egyértelműen kifejezhető, ahol a C az f(s) = K k( 0) (1 (F-2) egyenletek s-re vonatkozó megoldásainak a minimuma, D pedig az f(s) + sf'(s)-K k(s) = 0 (l^k^n) (F-3) egyenletek megoldásának a maximuma. Belátható, továbbá, hogy az (F—2) és (F—3) egyenletek egyértelműen oldhatók meg, továbbá a megoldásukra az intervallumfelezési vagy a húrmódszer [10] jól alkalmazható. Tehát D<s-<G esetén az (F—1) egyenletekből x k egyértelműen kifejezhető. Minthogy értéke s*-tól függ, x k =x k(s*). Bebizonyítható [8], hogy x k(s*) s*-nek szigorúan monoton csökkenő függvénye, valamint n 2x k(D)>D (F-4) i=l n 2 **(<?)< C (F-5) így a n 2 x k(s*) = s* (F-6) i=l egyenlőségnek eleget tevő s* értéket a következő intervallumfelezési eljárással [10] határozhatjuk meg. Legyen s* = ( D + C J/2, és határozzuk meg az (F—1) egyenletek alapján az x k(s*) (láisn) értékeket. Három eset lehetséges: a) Ha M 2 x k(s*) = s*, (F-7) i=l akkor az x k(s*) értékek szolgáltatják az egyensúlypont koordinátáit. b ) Ha n ' (F-8) i= 1 akkor C értékét hagyjuk változatlanul, és legyen D = s*. c) Ha n *£jX k(s*)>s*, (F-9) i= 1
