Hidrológiai Közlöny 1976 (56. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: Általánosabb átfolyás rendszerláncolatok

Hidrológiai Közlöny 1976. 8. sz. 402 Általánosabb átfolyásos rendszer-láncolatok Dr. V Á G Á S I S T V Á N\ a iiiOazaki tudományok kandidátusa Az átfolyás elemi rendszere a hozzáfolyás, az önszabályozásos folyadéktárolás és az elfolyás működésbeli egysége. A hozzáfolyást (input) a rendszerbe jutó víz hozamának Q = Q(t) időfüggvényével, vagyis a ráhatás függvényével; az elfolyást (output) a távozó víz hozamának Q

v = Q„(t) időfüggvényével, vagyis a válaszfüggvénnyel fejezzük ki. A tárolódás kifejezésére a tárolt víz térfogatának V = Y(t) időfüggvényét, a tárolási függvényt használhatjuk. Az elemi átfolyásos rendszer vízháztartását a következő differenciálegyenlet írja le: Q(t) = Qr(t) + dV(t) dt (1) Olyan danaida-jellegű átfolyásos rendszerekben, amelyekben a víztükör felülete (/) nem függ a vízállástól (prizmatikus edény): dV=f-dy (2) A válaszfüggvény azonban függ a tárolt víz y vízállás-magasságától. A lineáris függés esetével előző tanulmányainkban [1, 2] foglalkoztunk. Itt azt említjük meg, hogy ez az alapeset része lesz további általánosabb eseteknek. Ezúttal a lineáris függvénynél általánosabb összefüggést: a hatványkitevős kapcsolatokat tárgyaljuk. Megemlítjük, hogy a szabad vízfelületű edényeknél ezek a kapcsolatok — így az 1/2, vagy az azt módosító, általában l\n kitevőjűek — a jellegzetesek. A hatványkitevős kapcsolatcsoportot a Qv — qn- y

m (3) összefüggés fejezi ki, ahol rjh az n érték szerinti fajlagos vízhozam, amely ennek megfelelő [m^-s1] dimenzióval rendelkezik. A (2) és (3) egyenleteket az (l)-be helyettesítve: Q(t) = qn-[ym

V

n+í dy(t) dt (4) Vegyük tekintetbe, hogy bármely Q(t) ráhatási függvény a megfelelő együtthatókkal szorzott egységugrás, vagy egységimpulzus függvények összegezéséből is előállítható, ezért elegendő rá" hatási függvényként az egységugrással arányos Q(t) = Q

p • 1 (i!) függvényt vizsgálnunk. Ha a danaidában a Q

v hozzáfolyási és az azzal éppen egyenlő elfolyási vízhozam mellett permanens vízmozgás alakulhat ki, ehhez y

v vízállás magasság tartozik, minthogy a (3) szerint: i/» Q

P = qh-y

P (5) E feltételnek megfelelően (4) egyenlet új alakja: qn-yT -1 (t) = qn-[ym

V

n+f-^

df (0) Bevezetve a QP [ VV J értelmezést, amely a 0tartományban a valószínűségi értelmezéshez hasonló, és az értelmezésből következő p*

{t)=m=\m

v

n dy = n-y

v-p*(

n helyettesítést, valamint a t i-i

I» S'Vv t

á = qh konstansokból összevont jelölést, és mindezt a (6)-ba helyettesítve és az egyenletet rendezve, kapjuk: dp*(t) n-lá• =[p*(t)f'

n-mt)-p*(t)] (7) dt a láncolat magasabb rendszámú elemeire: dpÍ(t) n-tádí -=[?**(<)][pu(t)-p?m (8) A (8) egyenlet a k— 1, 2, 3... helyettesítések elvégzésével és a p*(£)=l(/) kezdeti feltétel mellett differenciál-egyenletrendszert alkot. A (7) differenciál-egyenlet, mint a (8) egyenletrendszer első egyenlete, közvetlenül is megoldható. Válasszuk külön a változókat és integráljunk: <-•<••/ TW<^<<> =f -i jr • d]>* + + n • tá • p*U) fi dp* -p* --n-tá• , * • *2 js3 *(n-2) *(n-l) , (9) A (9) egyenletben szereplő, szögletes zárójelbe egyszerűsödik. Pl., ha n= 1, a szögletes zárójelen tett összegben a vonatkozó integrálon belüli tény- belüli rész azért válik zérussá, mert már maga az leges osztásból kell kiindulni. így a „végtelen" alapul szolgáló integrál is zérus volt. Ha n=2, összegezés gyakran véges tagszámú összegezésre akkor a szögletes zárójelen belül, csak egy tag marad: p*, tekintve, hogy az egység integrálját * Alsótiszavidéki Vízügyi Igazgatóság, Szeged. kellett képezni. Ha n = 3, úgy az integrálandó tört