Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

2. szám - Kontur István: A hidrológiai körfolyamat sztohasztikus modellje

Kontur I.: A hidrológiai körfolyamat Hidrológiai Közlöny 1975. 2. sz. 79 Az átmenetvalószínűségi mátrix sok esetben jelentősen egyszerűsíthető, mert sok eleme nullával egyenlő. Ez fizikai megfontolás alapján előre eldönthető. Például, ha a vízrészecske az egyik állapotból a másik állapotba egyetlen At lépcsőben nem kerülhet át. Ezek a gráfélek eltűnnek, és így a hidrológiai körfolyamat gráfja is egyszerűsödik. 2. Példa a vízgyűjtő terület modellezésére Nagyon leegyszerűsített hidrológiai körfolyamatot fogunk vizsgálni, a vízgyűjtőn történő lefolyás példáján. Tekintsünk egy vízgyűjtő területet (la. ábra) y

1 légtér felőli szegmenssel, y

% felszín alatti szegmenssel, és y

3 kifolyási szegmenssel, mely a vízfolyás keresztmetszetével egyezik meg. Továbbá jelölje s

x állapot, ha a víz a felszínen tartózkodik és legyen s

2-vel jelölve a víz felszín alatt tartózkodásának állapota. Vagyis r(y

v y

2, y

3) és S (áj, s

2). Az átmenetvalószínűségi mátrixot (8) alapján részletesen kiírjuk, majd végigvezetjük azt a gondolatsort, amely alapján a mátrix egyszerűbb alakra hozható, fizikai megfontolásokat figyelembe véve. A lb. ábrán bemutatott rendszer átmenetvalószínűségi mátrixa: Vi Yi y

3 S1 S2 7i ~9ii 9l2 9l3 «11 «12 V2 922 923 «21 «22 7a 931 932 933 «31 V32 «2 «11 u

1

2 "13 V

11 i>12 Co to - M21 «22 M23 TP2\ P

22 Q|Y = \ rr I ü ÍP (11) Nézzük sorban az egyes át menet valószínűségeket. A légtérben tárolt nedvességből q

n valószínűséggel marad a légtérben a nedvesség. A légtérből a felszín alatti szegmensen (y

2) és a kifolyási szegmensen (y

3) zérus valószínűséggel lép át a vízrészecske, tehát <712 = 913 = 0. A légtérből a felszínre kerül a vízrészecske v

n valószínűséggel jut, de a felszín alatti tározóba (s

2) nem kerül, valószínűsége zérus K

2 = 0). A felszín alatti szegmensről (y

2) a vízrészecske sem a légtérbe (yj), sem a kifolyási szegmensre (y

3), sem a felszínre (s

x) nem kerülhet közvetlenül, tehát q

2

1 = q

2

3 = v

2

1 = 0. De <7

2

2 ^0 és v

2

2^0. A kifolyási szelvényen átlépő vízrészecske már nem kerülhet máshová, csupán a (y

3) szegmensen maradhat egy valószínűségei, és akkor a kifolyó vízmennyiséget összegezzük a y

3 szegmensen, vagy <733 = 0 és ebben az esetben a vízhozamot kapjuk. A fentiekből következik, hogy 931 = 932 = ^31 = = r

3

2 = 0. Az s

1 állapotból a vízrészecske a y

v és a y

3 szegmensekre és az s

v s

2 állapotokba kerülhet. Ez azt jelenti, hogy a vízgyűjtő felszínéről a víz vagy elpárolog u

n valószínűséggel, vagy lefolyik u

1

3 valószínűséggel, vagy beszivárog p

1

2 valószínűséggel, vagy helyben marad p

n valószínűséggel. A felszín alatti vízkészletből, vagy a y

2 szegmensen keresztül távozik w

2

2 valószínűséggel a vízrészecske, vagy a felszínre (s

1) kerül p

2

1 valószínű2. ábra. A hidrológiai rendszer egyszerűsített gráfreprezentációja Puc. 2. ynpou}enHan penpejeumaquíi zudpoAOzmeCKOü cucmeMbi c ucnoAb3oeaHueM epa0oe Fig. 2. Simplified graph-representation of the hydrological system séggel, illetve helyben marad p

2

2 valószínűséggel. Tehát w

2

1 = 0, és w

2

3 = 0. A fenti egyszerűsítések után a rendszer átmenetvalószínűségi mátrixa (11) az alábbi formát ölti: ~9n 0 0 «11 0 0 922 0 0 V

2

2 0 0 933 0 0 Mn 0 «13 P11 P12 _0 «22 0 V 21 V22 (12) Az egyszerűsített rendszer gráfsémáját a 2. ábra mutatja. 3. A rendszer működése, szimuláció, előrejelzés A hidrológiai körfolyamat sztochasztikus modellezésének a célja, hogy a víz körforgásának matematikai modelljét megadjuk, és így választ tudjunk adni különböző gyakorlatban felmerülő kérdésre, például a y

3 szegmensen keresztülhaladó vízhozamidősor meghatározása az egyik cél. Ha ismerjük a rendszer állapotát a t időpontban akkor Q, V, U, P rendszerjellemző mátrix ismeretében meg tudjuk határozni a rendszer állapotát (í+1), (< + 2). . .(t + Jc) időpontokban. A (9a, b) képletet többször egymásután használva: Y(< + 2) = [ Q

2 + VU] • Y(<) + [ QV -f VP] • X(í), X(< + 2) = [UQ+PU]-F(<) + EUV+P

2].X(<), (13a, b) továbbá X(í+3) = [UQ

2+PUQ + UYÜ+P

2U]-Y(í) + + [U QV+PU V + UVP+P

3] • X(í), Y(í + 3) = [Q

3 + VUQ+QVU + VPU]-Y(<) + + [Q

2V + VUV+ QVP + VP

2]X(<). (14a,b)