Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban

3(396 Hidrológiai Közlöny 1974. S. sz. A Bolyai-geometria a mérnöki tudományban Dr. VÁGÁS I S T V Á N, a műszaki tudományok kandidátusa* 1823. november 3-án keltezte Bolyai János azt az apjának írt levelét, amelyben bejelentette, hogy megalkotta az euklideszi geometrián túlmutató új geometriáját, vagy ahogy ő kifejezte: ,,a semmiből egy új más világot teremtettem". Százötven éve ennek, és illő, hogy erről, mi mérnökök is megemlékezzünk. Bolyai Jánosra, és nagy alkotására joggal hivatkozik a matematika tudománya, hiszen általa a geometria kétezer év óta megoldatlan alapkérdése jutott teljes, bár sokak által nem várt megoldáshoz. Joggal hivatkozik Bolyai Jánosra a hadsereg is, mivel hadmérnök-kapitány volt. Igaz, hogy a katonai szolgálatot és egyúttal a mérnöki pályát kénytelenségből választotta; mégis ez tette számára lehetővé, hogy a megélhetés gondjaival megbirkózzék. Különös, hogy amíg a matematikusok és a katonák tudatosan magukénak vallják Bolyait, úgy tűnik, hogy a mérnökök talán elfelejtették, hogy Bolyai mérnök is volt, így hozzájuk is közel áll. Igaz, hogy a Bolyai alkotását elemző filozófusok és matematikusok mindig siettek kijelenteni, hogy az új geometriának — hatalmas elméleti jelentősége mellett — gyakorlati vonatkozásai a köznapi életben elhanyagolhatók, és ha a fizika egyes területein láttak is alkalmazására lehetőséget, igyekeztek a Bolyai geometria reális következtetéseit kozmikus nagyságrendekbe transzponálni. Bolyai János, geometriája gyakorlati megvalósíthatóságának igazolására mérnöki módszereket: geodéziai módszereket is javasolt. Gauss ilyen méréseket ebből a célból végzett is, amelyekből később megszülettek az alábbi, jól ismert általánosító értékelések : — ,,A gyakorlatban az euklideszi geometria mindenképpen megfelel", — ,,a mérnököt a mondott kétféleség (t. i. az, hogy méréseink azt mutatják, hogy a valóságban az euklideszi geometria vagy szigorúan érvényes, vagy pedig nem érvényes, de a valóságot olyan jól megközelíti, hogy pontatlanságát észlelni nem tudjuk) nem is érdekli". — „a Pithagorasz tétel (t. i. ezzel együtt az euklideszi geometria) csak akkor veszíti el érvényességét, ha — elméletben — kilépünk tejútrendszerünkből, és az egész világegyetem, az Univerzum méreteit megközelítő nagyságrendben gondolkozunk", — „egyetlen hidat sem terveztek az euklideszi geometriától eltérő geometriák segítségével", és hivatkozhatnánk még sok hasonlóra, amelynek alapgondolata tulajdonképpen a következő: 1. a fény földi méretek közötti euklideszi viselkedésének a gyakorlatban megkívánható pontosságon belüli kétségtelen mérési bizonyítékai után a mérnöknek további geometriai problémája már * Alsótiszavidéki Vízügyi Igazgatóság, Szeged. nem lehet, így a technika részére csak az euklideszi világkép az egyetlen lehetőség; 2. a mérnöki gyakorlat kialakult — kétségtelenül indokolt — szokványai, a mérnöki szemlélet kialakult normái az euklideszi világképen alapulnak. Nem csodálkozhatunk tehát azon, hogy a mérnöki problémák hétköznapi világában Bolyai geometriájára utalás sem történt. Ugyanakkor a fényterjedés euklideszi, vagy a földi méretek közötti viselkedése a kérdésnek csupán az egyik oldala. A szilárdságtan és a hidraulika szolgáltat olyan példákat is, amelyeknél a Bolyai geometria szemléletmódja mindenben jogosult lehet. Minden behajló lánc, kötél, rúd, tartó, leszívási vízszínvonal, duzzasztási vízszínvonal a Bolvai-geometria gondolatmenetében is jellemezhető. Nincs tehát okunk a Bolyai geometriától a mérnöki érdeklődést megvonni, sőt talán a műszaki vonatkozások tisztázása a legalkalmasabb arra, hogy a Bolyai geometriát a valóságos világhoz közelebb hozzuk és gondolatmenetével a műszaki szemléletet is gazdagítsuk. A Bolyai-geometria mechanikai vonatkozásai A mechanika vizsgálatainak jelentős része az erők és mozgások geometriai szemléletének felel meg. Ennek megfelelően bizonyos alapfeltevések után az erőtani és mozgástani fogalmak közül több fontos fogalom geometriai fogalommá transzformálható és így számos feladat megoldása geometriai módszerekkel is megvalósítható. Az, hogy az adott, reális esetekben melyik geometria volna „igaz", az euklideszi-e, vagy valamelyik Bolyaiféle, (vagy ezeken kívüli valamilyen más geometria), hiábavaló kérdésfeltevés. Az ugyanis, hogy az egyes geometriákat megkülönböztető nevezetes axióma közül melyik „áll fenn", tulajdonképpen a gondolati rendszert jellemzi és azt határozza meg, hogy a biztosított feltótelek között milyen vonalféleséget kell az „egyenes" megnevezéssel felruházni. Reális esetekben ugyanazt a vonalféleséget az egyik szemléletben ,,egyenes"-nek, más szemléletben „nem-egyenes"-nek minősíthetjük, s az illető vonalfélesóggel leírt fizikai kép, vagy folyamat maga nyilvánvalóan közömbös a leírás módja, így geometriai szemlélete iránt. Ismert, hogy mindenfajta nemeuklideszi geometriához euklideszi modell rendelhető, így tehát az euklideszi jellemzés közvetett lehetősége mindenkor fennáll. Más kérdés, hogy ez mikor előnyös és mikor nem. Az alábbiakban olyan műszaki kérdéseket igyekszünk vázolni, amelyeknél a nem-euklideszi szemlélet is viszonylag egyszerű vizsgálatot tesz lehetővé. A Bolyai-geometria a műszaki életben tehát, mint az euklideszi kifejezésmóddal elvileg „egyenlően jogosult" megoldás kerülhet alkalmazásra. Az erő- és mozgástani fogalmak geometriai modelljének megalkotásához rögzítenünk kell azokat a bizonyítani nem kívánt alapfeltevéseket, amelyek az esetünkben síkbeli mechanikai rendszert jellemzik. Ezt követően meg kell mutatnunk, hogy ezek a mechanikai alapfeltevések a geometria elfogadott — esetünkben a Hilbert-féle — axiómarendszerének miként feleltethetők meg, és ezen belül az egybe-