Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)
9. szám - Kontur István: Újabb vizsgálati módszerek gyakorlati alkalmazása vízállás-idősorok elemzésénél
Kontúr I.: Újabb vizsgálati módszerek Hidrológiai Közlöny 1974. 9. sz. 391 3. Várakozási idő modell alkalmazása idősor elemzésre, a módszer matematikai alapjai Mielőtt a matematikai tárgyalásra rátérnénk ennek az új fogalomnak a beveztéséhez kövessük végig az alábbi gondolatmenetet. Legyen valamely idősorunk, például napi vízállások idősora. Vegyünk fel tetszőleges H 0 vízállás értéket. Vízállás grafikonúnkon huzzunk vízszintest a II a magasságban. Ezután kijelölhetjük azokat dbZ Zj, Z9, Zg . . . stb. időtartamokat, amikor a vízállás grafikon a H 0 szint fölött haladt és kijelölhetjük azokat QJZ S ^ Y S 2 J s 3.. .stb. időtartamokat, amelyekben a vízállás grafikon a H 0 szint alatt haladt. A fenti módon kapott l v Z 2, l 3. . . időtartamok valószínűségi változók, és egyik is, másik is egy-egy eloszlásfüggvénnyel jellemezhető. Az eloszlásfüggvények alakja általában exponenciális, legalább is legnagyobb valószínűséggel ezt várjuk. A fent leírt módszert először az elektronikában a zajok idősorának elemzésére használták. De az eljárás hidrológiai idősorok elemzésére is alkalmazható és bevált egyes esetekben [4], Sajnos az eredeti gondolatmenet matematikai levezetését a normális eloszlású véletlen sztochasztikus folyamatokra alapozták [5], ezért a hidrológiai idősorokra való közvetlen átültetése nem mindig szerencsés, sőt félrevezető eredményeket is adhat. Az alábbiakban röviden az eredeti gondolatmenet végeredményeit közöljük, ami esetenként alkalmazható, vagy összehasonlítva az empirikus úton szerkesztett eloszlás ábrákkal: az idősor belső tulajdonságainak jellegére, további ismeretekre tehetünk szert. Megemlítjük azonban még, hogy valamely szint feletti, vagy alatti tartózkodási idő problémája egyáltalán nem idegen a hidrológiai gyakorlattól, hiszen az oly sokat alkalmazott tartóssági ábra is tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy a vízszint menynyi ideig tartózkodott egy bizonyos szint fölött, valamely bázisidőszakban (általában 1 év). Ez az érték nem más a leírtak szerint, mint az l v Iiqi ' • • stb. időtartamok összege valamely bázisidőszakban, vagyis az l v l 2,.. . valószínűségi változók összege. Tehát a tartóssági ábra is magában foglalja ezeket a valószínűségi változókat, de „elkeni" azok egyedenkénti nagyságát, és időbeli egymásutániságát. Pedig nem mindegy, hogy ezek az időtartamok (nedves, vagy száraz időtartamok) hogyan tevődnek össze: sok rövid, vagy néhánv hosszú periódusból! A száraz és nedves periódushosszak számításának elméleti alapjait Nordin és Rosbjerg [4] mutatták be Rice 1945-ben közzétett anyaga [5], valamint Gramer ós Leadbetler közlése nyomán [6], Néhány alkalmazás már korábban megjelent [7, 8, 9]. Az alábbiakban a főbb megállapításokat emeljük ki Nordin—Rosbjerg cikkéből, melyek az alkalmazást elősegítik. Legyen Y(t) idősorunk. Először meghatározzuk az idősor átlagértékét: Y és szórását: a a szokásos módon. Az Y(t) idősort normalizáljuk, illetve standardizáljuk: Y{t) - Y (1) 2. ábra. A metszékek módszerének szemléltetése Fig. 2. Principle of the method of intercepts Számítsuk az y(t) idősor autókorreláció függvényét r(fc)-t. (Lásd például [10]-ben). N-k rW=--zlyi-yi+t' ( 2) N-k t = l ahol N azadatok száma. Jelöljük Z 0-val azt az időtartamot, amely az y(t) idősor ós az időtengely két metszóke között eltelik (2. ábra). Rice bizonyítása szerint l 0 várható hosszúsága: ' r(0) f r(0 ) 1"» I -r"(0) J (3) ahol r" (0) az autókorrelációs függvény második deriváltja a 0 helyen. Amennyiben nem az y = 0 magasságában vagyunk kíváncsiak a metszék hosszúságára, akkor a h magasságban levő lh metszékek várható hosszúságát is megkaphatjuk, ahol lh azt az időtartamot jelöli amíg y(t) h szint fölött tartózkodik egy-egy periódusban: 1 ~ 1 2 h' 1 9 í r(° ) V" e 2"' f (4) Mind a (3), mind a (4) összefüggés még ilyen formában számításra nem alkalmas. Bevezetve az r"(0) = 2 • • [r( 1) — r(0)] közelítést l 0 várható értéke: (5) ahol r(l) az egylépéses autókorrelációs függvény. ToLo -OA -0,2 0,6 0ß 1 r(1) Az így kapott y(t) idősor várható értéke zérus és szórása egységnyi lesz. 3. ábra. h — 0 helyen a metszék-hosszak az egylépéses autókorreláció függvényében a) folytonos idősor b) diszkrét idősor (Nordin és Rosbjerg nyomán) Fig. 3. Intercept lengths vs. single-step autocorrelation at h — 0
