Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával

3<i6 Hidrológiai, Közlöny 1974. 8. sz. Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény VOLTERRA integrálegyenlet a h(t) súly függvény (egységárhullóm)meghatérozásáhos x(tl lINCA'RISRtWM » h(t) M. DETERMINISZTIKUS jelek y

e(t)=J h(T)x(t-T)dv h(T) = 0, Vv<0 y

e(L)^h(s)x(L-s) s-o (i-0,1,2,..,n) X = WIENER -HOPF integrólegyenlet az optimális előrejelző függvény meghatnrozósóhoz x(t) X(t) um'ms PFNDS7ÍR h(t) tíe(t) um'ms PFNDS7ÍR h(t) 4 mOSAŰOS RFHOSZIR 'tmmsskvfüeevÉNr 1 x(t) mOSAŰOS RFHOSZIR 'tmmsskvfüeevÉNr V(t) SZJOHASZTim jelek Txy fr-vj dv hopt(v) = 0, \/yy<0 Vxuß)=[r>0pt.(s)%

x(i-s) s*a (i=0,1,2,...,m<n-1) fxx (is) = fix (s-l) Txx (45) (46) ßNN^ = £ az autokovariancia-függvényből eldönthető —, akkor a csapadék (46) autokovarianciafüggvénye a Dirac-delta függvénnyel így írható: <Pxx(t) = a

2d(x) (47) A fenti kifejezést behelyettesítve a (36) WienerHopf egyenletbe: <p

x

v( T f h

0

VtWo

2ö{T-f>)M = 0 u = <7

2 J Ä

Opt(r--0)ö(^)d^ (48) a konvolúció kommutativitása miatt. A Diracdelta tulajdonságát (lásd ***) kihasználva kapjuk, hogy <pxv{t) = o

2h

o

vt(.r) amelyből — figyelembe véve, hogy a

2= (p

x

x{0) — az optimális előrejelző-függvény: <Px

V(r) /tovt{r) = <Pxx( 0) (49) 3. ábra. A Volterra és a Wiener—

Hopf integrálegyenletek közötti analógia Fig. 3. The analogy between the integral equations of Volterra and Wiener-Hopf 2.2.2. Analitikus megoldás, ha a csapadék fehér zaj í'olyaniat A hidrológiai idősorok általában két összetevőből — a P(t) determinisztikus és az N(t) véletlen folyamatból — építhetők fel [18] [19]: r,(t) = F(t)+N(t), (44) ahol P(t) a periodikus komponens, vagy a trend komponens (végtelen nagy periódus), N(t) pedig független, azonos eloszlású valószínűségi változó az ún. zaj (az elnevezés az elektronikából ered). Az N(t) zajösszetevőről feltesszük, hogy nulla várható értékű: E[AT(<)] = 0. A (44) ós (45) kifejezésekből következik, hogy E [

V(t)] = P(t). Ha az N(t) zaj autokovariancia-függvénye ^ (T) = l

a

2'

T = 0 N

N lo, egyébként, akkor fehér zajnak nevezzük [1], ahol a

2 a szórásnégyzetet jelöli. Könnyen belátható, hogy a autokorrelációfüggvény az alábbi: T = 0 egyébként. Ha a csapadékidősor nem tartalmaz periodikus összetevőt, akkor autokovariancia-függvénye a Dirac-deltával közelíthető [25], tehát a csapadék fehér zaj folyamai. Megjegyezzük, hogy ez a feltétel csak rövid időszakra érvényes, hiszen a csapadékidősor erős évszakos periódust mutat, azaz autokovariancia-függvénye ingadozik [19], vagyis nem közelíthető a Dirac-deltával. Tehát, ha az x(t) csapadékidősor fehér zajnak tekinthető — ennek a feltevésnek az érvényessége Tehát az optimális előrejelző-függvényt úgy kapjuk meg, hogy a keresztkovariancia-függvényt elosztjuk a csapadékidősor nullálépéses autokovarianciájával (a szórásnégyzettel). A Wiener—

Hopf egyenlet frekvenciatartománybeli megoldására Hino [ 14] adott eljárást, feltételezve, hogy a csapadékidősor autokovarianciafüggvénye exponenciális. Véleményünk szerint az autokovariancia exponencialitásának feltételezése semmivel sem indokoltabb, mint a Dirac-deltával való közelítésé — a számítási munkát viszont lényegesen megnehezíti, és a periódikusságra éppúgy reagál. 2.3. Számítógép program Az optimális előrejelző-függvény becslésére (a csapadék mint fehér zaj) számítógép programot írtunk ALGOL nyelven RAZDAN-3 gépi reprezentációban. A program folyamatábráját a 4. ábra szemlélteti. A programban felhasználtuk a cov nevű kovarianciafüggvényeket számító eljárást, amelyet [19]-ben közöltünk. A programban alkalmazásra kerül'a diko nevű eljárás (1. táblázat), amely 1. táblázat A diszkrét konvoluciót számító eljárás Table 1. The method of computing discrete convolution procedure diko (x, h, ye, p, u); value p,u; integer p, u; array x, h, ye; begin integer i, j; real sum; for i:=0 step 1 until p + u do begin sum: =0; for j:"=0 step 1 nntil u do H sum: —sum + h[j]*(il j =»1 or(i

—j) =-P then 0 else x[i

—j]); ye[i]:=°sum • end end diszkrét konvolucio

;