Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)
8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával
3<i6 Hidrológiai, Közlöny 1974. 8. sz. Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény figyelembe vesszük, hogy az idősorok autó- és keresztkovariancia függvényei — definíciószerűen [19] — az alábbiak': W(t)]=<Pw(0) E[x(t-T)ym = <P*v(T) akkor (20) a kovarianciafüggvényekkel a következőképpen fejezhető ki: u E[e 2(í)] = iW=^(0)-2 f h(r)<p x v(r)d.T + 0 v ti + J h(r) J h(ft)cp x x( T-ft)dftdr (21) o o Meghatározandó a (21) kifejezést minimalizáló 7'opt(t) optimális súlyfüggvény (optimális előrejelzőfüggvény). A feladatot a variációszámítás elveinek alkalmazásával oldhatjuk meg [6, 21]. Legyen tehát 7í Opt(0 a (17) funkcionált minimalizáló függvény és legyen tetszőleges h(t) függvény az alábbi módon előállítható [20]: h(t) = h op t(t)+pm (22) Azaz h(t) a h op t(t)-hez „közeli" függvény, ahol £(/) egy tetszőleges, de fizikailag megvalósítható súlvfüggvény, y pedig a variációs paraméter (2. ábra). 2. ábra. Az optimális súlyfüggvény értelmezése Fig. 2. Interpretation of the optimal weight function A £(<) ugyan tetszőleges pozitív időfüggvény, de azzal a megkötéssel, hogy f(0) = {(«)= 0. Azaz a /i o pt(í) + + /t£(£) ugyanazon a kezdő és végponton halad át mint a /iopt(l)- Tekintsük a következő funkcionálokat: 1 = U / F\_h ov t(t),f]dt u I F[h op t(t)+ fit(t),f]<lt (23) (24) Ez utóbbi fi függvénye, mivel a h 0pt(í) görbét valamely szomszédos görbéjével helyet tesítve a funkcionál /i-től függ. Tekintsük a (23) és (24) funkcionálok különbségét: AHp)=Hii)-i = V F[h ov t(t)+ fi í(i),t]dtHa a (25) funkcionálkülönbséget valamilyen módon minimalizáljuk, akkor — könnyen belátható, hogy — ezzel a (21)-et is minimalizáljuk [20], A AI( fi) funkcionálkülönbséget Mac Laurin-sorha fejtve: , /' 2 dW( /<) ' 2 ! dfiAH f í) = AI(p) fi dAI(fi) + dp fi n d nAI( ft) n ! d fi n És figyelembe véve, hogy AI(0) = 0, mert 7(0)=/ ós dAI(fi) d [Hii)-1] d/( fi) (26) dfi dfi d /t melyek a (25) összefüggésből következnek —, tehát (26) ígv írható: d I(u) Ai{n) = n~^r'~ + d fi + ^ d*I(fi) 2! d p* A1 = 0 (i n d nI( fi) ii=o ri\ d fi n + ... (27) A (27)-ben az egyes tagok az l(fi) funkcionál különböző variációi, tehát l(fi) első variációja: 61 (fi) = fi második variációja a <5 */(/«) = d H(t) ti fi fi* <\*I{fi) 2! d fi 1 kifejezés, s így tovább, tehát a funkcionálok különbsége AI(fi) = 8I(fi) + ö-I(fi)+ ... (28) alakú. Kis fi variációs paraméterre AI(fi) ss ől(fi), mert a fi paraméter magasabb hatványait tartalmazó tagok elenyészően kicsik. Ha bizonyos li(t) értékre az I funkcionál — i.i = 0-r'a — minimumot ér el, akkor a dII u) AI( fi) as Ó/( fi)= fi — sfl (29) egyenlőtlenségnek kell fennállnia, tehát az extrémuni szükséges feltétele [20], hogy a legyen. Azaz 6/(fi) = fi ÖI( fi) = 0 d I(fi) d fi = 0 (30) A y variációs paraméter nem nulla, tehát a szélsőérték szükséges feltétele: dl(p) dp • 0 ,, = 0 (31) Tehát az eltérés négyzetes középértékét minimalizáló /> Opt(0 súlyfüggvényt úgy kapjuk meg, hogy a (22) kifejezést behelyettesítjük (2Í)-be, majd p szerint differenciálunk, ezt követően a p = 0 értéket helyettesítjük, tehát de 2(t, y) dp = 0 ,<=o (32) és ebből a h o pt(t) meghatározható. Azaz u ~^jr,~p)=cp v y(0)-2 J [Aopt(T)+/i{(T)]ip a»(r)dT + " U U J F[hovtm]dt (25) + J [Äopt(T)+/i|(T)] J [h 0 í,m+pimamely szintén függvénye /i-nek. • <f>xx[T~ ft) -dft dr (33)
