Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)
8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával
HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 54. ÉVFOLYAM 8. SZÁM Budapest, 1974. augusztus :m — :is4. oldal Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával SZÖLLÖSI-NAGY ANDRÁS* Vízgazdálkodási feladatok megoldásánál sokszor előforduló probléma, hogy a tervezőnek nem áll rendelkezésére elegendő hosszúságú adatsor vagy, hogy az hiányos. Egy másik gyakorta felmerülő igény a csapadék hatására keletkező vízhozam előrejelzése. A tanulmány kísérletet tesz olyan függvény meghatározására, melynek birtokában minimális hibával lehet a következő feladatokat [17] végrehajtani : (i) rövid távú előrejelzések mért bemeneti (input) adatok alapján (pl. csapadék hatására keletkező árhullám(ok) előrejelzése), (ii) sztochasztikus bemenet transzformálása sztochasztikus kimenetté, (iii) adat hiány pótlás (pl. hiányzó vízhozam idősor előállítása mért csapadék idősor alapján). A függvény meghatározásánál alkalmazott módszer elmélete Norbert Wiener amerikai matematikus nevéhez fűződik [32], és először a hadászatban alkalmazták támadó repülőgépek pályájának előrejelzésére. Azóta számos tudományág területén automatika [6, 7], híradástechnika [21] —alkalmazást nyert [23]. A hidrológiai irodalomban Eagleson [10], Barrera és Perkins [4] és Hino [14] voltak azok, akik felhívták a figyelmet a módszerre. Munkánkban — a Wiener— Hopf egyenlet származtatásán túlmenően :— egy új analitikus megoldást próbálunk adni — a bemenet (csapadék) mint fehér zaj folyamat feltételezés mellett. Mellékeljük a gépi számítás — ALGOL nyelven RAZDAN-3 reprezentációban írt — programját, amely —- a példákkal egyetemben — a BME Vízgazdálkodási Tanszékén készült [27]. 1. Rendszerelméleti alapok Mielőtt rátérnénk a bevezetésben említett függvény meghatározására célszerűnek látszik egy-két rendszerelméleti fogalom tisztázása — már csak * Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet, Budapest. azért is, mert e tekintetben az irodalom nem mindenütt egységes [2, 11, 26, 32]. 1.1. Definíciók (1) A rendszer egymással együttműködő elemek tetszőleges összessége, amelyet bizonyos számú időben és térben változó mennyiséggel lehet leírni. A rendszer általánosságban két függvény halmaz között teremt kapcsolatot. A rendszerbe bemenő {x(t)} függvény halmazt bemenetnek (input), a kimenő {(?/(/)} függvényhalmazt kimenetnek (output) nevezik, és a kettő közötti kapcsolatot a rendszer ?(> operátora teremti meg, vagyis {3/(0} = 7T,[{x(t)]\ (1) ahol 7í) egy funkcionál** [33]. A 76 operátor rendszerjellemző, abban az értelemben, hogy ismeretében tetszőleges bemenethez tartozó kimenet meghatározható. Ha a függvényhalmaznak csak egy-egy eleme van, akkor a rendszer egyváltozós, melyet gyakran egyszerű input/output rendszernek neveznek, megjegyezzük azonban, hogy az egy váll o/.ós rendszerekre érvényes összefüggések többváltozós rendszerekre is alkalma/halók, ha a bemenő és kimenő függvényeket értelemszerűn függvénymatrixokkal/matrixfüggvényekkel helyettesítjük. Az olvan rendszereket, amelyeknél a kimenet valamilyen módon visszahat a rendszerre, viszszacsatolt (önszabályzó v. zárt hurkos) rendsze** Funkcionálnak nevezünk egy olyan operációt, amely bizonyos elemekhez (ezek lehetnek halmazok, függvények, események) hozzárendel egy — általánosságban — komplex számot'. Például, ha a és b véges valós számok, akkor a-^t-^b intervallumban folytonos függvények halmazán a b 01= í x(t) dí a integrál funkcionál. A funkcionál lineáris, ha olyan elemeken van értelmezve, ahol egyrészt az elemek között értelmezett az összeadás és a komplex számmal való szorzás, másrészt a funkcionáld következő tulajdonságoknak tesz eleget:
