Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)

9-10. szám - Kontur István–Szöllősi Nagy András: A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése

Kontur I.—Szőllősi Nagy A.: A kovariancia-, és korrelációfüggvény Hidrológiai Közlöny 1973. 9—10. sz. 469 az autokorreláció-függvény a következő formulával becsülhető (vö. (7)): Qxx{j) = n—j 2 i = 1 ahol n-j n-j j £ [Xi-^íir 2 [x

i+

j-^iTT)]j t=l i=l n-j x(j) = V Xi n — f í-J (35) (36) az adatsor 2-től (n-j)ig vett középértéke — mert n—j adat alkotja a mintát, és 1 " x(i+j) = ; V Xi n — i (37) Az autokorreláció-függvény konfidencia (CL) sávjának becslésére Anderson [1] a CL[Qxx(j)v\ = 1 Jn-i+l (38) formulát javasolta, amely az eltérések normális eloszlásának feltételezése mellett érvényes. A (38)ban tp ti standard normális eloszlásfüggvény p valószínűséghez tartozó függvényértékét jelenti. Az autokorreláció-függvény kézi számítással, illetve számítógéppel történő meghatározását a 4. pontban mutatjuk meg. 3.2. Keresztkovariancia-, keresztkorreláció-függvények becslése Az {Aj} és {Fj} stacionárius idősorok keresztkovariancia-függvénye — az előzőek alapján — (15) diszkrét alakjában becsülhető: A 1 n~

j <Pzv(j) = —— ^ hyi+j, 7 = 0,1, .. .,m^n- 1 (39) í=I ahol Xi és yi az idősorok középértékeitől való eltérések idősora. A keresztkorreláció-függvény (19) szerinti torzítatlan becslése: %v{1) = <Pxy(j) )f <Pxx(0)<p

v r, j=0,1, .. ..m^n-l (40) -(0) Az előző pontban bemutatott okok miatt, akkor járunk el helyesen, liaa keresztkorreláció-függvényt a következő alakú kifejezéssel becsüljük: Qx i/(?) = n-j 2 i = l n—j n—j {2 LXi-m p 2 LyHi-W+rir} (41) 1/2 ahol az x(i) és y(i-\-j) jelentése a (36) ill. (37)-nek megfelelő. A Császárvíz vízhozam-, és a Csákvár csapadékmérő állomás idősorainak keresztkorreláció-függvényét szemlélteti az 5. ábra. §*v Ü) 1,00,9 0,8 0,6 0,5 OA 0,3 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 1965. jónius 5. ábra. A Gsászárvíz Pákozd—Kisfalud szelvényének vízhozam-, és a Csákvár csapadékmérő állomás csapadék idősorának keresztkorrelációfüg gvénye Puc. 5. GyuKifUH-nonepemioKoppeAHifiioHHaii ÖAH pacxoda cmeopa p. 1acap8U3 y c. naK03d—Kimitfia.ayó, u pnda ocaóKoe ÖAH cmauifuu ii3Mepeniiti ocadKoe e c. lIaKeap Abb. 5. Kreuzkorrelationsfunktion der AbflussmengenZeitreihe im Pákozd-Kisfaluder Profil des Császárvíz und der Niederschlags-Zeitreihe der Niederschlagsmessstation in Csákvár 4. Korrelációfüggvények számítása 4.1. Kézi számítás útján A korreíéciófüggvények meghatározását célszerű elektronikus számítógéppel készíteni, de kevés adat esetén vagy számítógép hiányába kézzel is elvégezhető a számítás. Az alábbiakban egy nagyon egyszerű számpéldán mutatjuk be a számítás menetét, ami a korrelációfüggvény számítógép-programjának jobb megértését is szolgálja. Legyen a következő idősorunk (pl. évi átlag vízállások dm-ben 10 egymást követő évben): Xv. |2, 6, 15, —3, 4,-6, 5, 3,

| 9, 7.1 Határozzuk meg az autokorreláció-függvény értékét j = 2 lépésközre (egymást két évre követő adatok közötti korreláció). A 3. pontban leírtak szerint n= 10, j = 2, továbbá: ö 1 VI 1 x(2) = > Xi = — -16 = : v ' 10-2 t-i 8 i — 1 x(i+2)-1U 1 1 10-2 i=2 Az 1. táblázatban a (35) kifejezés nevezőjében szereplő mennyiségeket számítottunk.