Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
9-10. szám - Kontur István–Szöllősi Nagy András: A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése
Kontur I.—Szőllősi Nagy A.: A kovariancia-, és korrelációfüggvény Hidrológiai Közlöny 1973. 9—10. sz. 467 (ii) A keresztkovariancia-függvény nulla lépésre (eltolási időre) vonatkozó értéke a két idősor szorzatának középértékével egyenlő: <pxy(0) = x(t)y(t) = T = üm = J x(t)y(t)dt (17) o ami az előzőekből következik, r = 0 helyettesítéssel. (iii) A keresztkovariancia-függvényre érvényes az alábbi egyenlőtlenség: | <p*v(r) | 2^<jM0)<p w(0) (18) ugyanis tetszőleges a és 0 állandókra a várható érték: M[(a • x(t) + b-y(t + t)) a négyzetre emelést elvégezve és az autokovarianciafüggvónyek (12) illetve (17) tulajdonságait figyelembe véve — i) 2-tel végigosztva — kapjuk, hogy ^yj 'Pxx(0) + <p x y(r) + <p v v(0)^0 Ez a kifejezés a/b-hen egy másodfokú egyenlet, amelynek komplex megoldása van, tehát D diszkriminánsa nem pozitív: D = ±<tlv(r) - 4^(0) ?„„(()) amiből a tétel már belátható. Megjegyezzük, hogy (18) a Schwartz—Gauchy—Bunyakovszkij féle egyenlőtlenségből egyenesen következik [3]. Az idősorok keresztkorreláció-függvényét — (10)-hez hasonlóan — a keresztkovariancia-fiiggvény normálás&val kapjuk: Qxy(t)= <Pw(T) <Pxv(t ) _ YvJÖWJÖ) (19) amely az idősorok egymástól r lépésnyire levő adatai közötti kapcsolat szorosságát méri. Értékkészlete a [—1,1] zárt intervallum — ami (18)-ból is következik a gyökvonás kétértékűsége miatt. Ha a két idősor független egymástól, akkor szorzatuk várható értéke megegyezik várható értékük szorzatával [13], azaz 9Mt)=E[z(%(*+ T)]=E[a!(í)] -E[y(í + T)] (20) stacionárius folyamat esetén: E[J/(Í+T)] = E[2/(Í)] tehát a (6) ergodikus hipotézis alapján (20) — független idősorok esetén — így írható: <p x v( T) = x(t).y(t) (21) és {y(t), t£T) folyamatok minden együttes eloszlása normális, akkor a korrelálatlanság egyben függetlenséget is jelent [13]. Az állandó, vagy periodikus összetevőt nem tartalmazó idősorok érdekes tulajdonsága, hogy kovarianciafüggvényük — aszimptotikusan — valamilyen rögzített értékhez tart. Ugyanis nagy eltolási időkre az idősorok statisztikailag függetlenekké válnak, azaz (21) szerint: lim (px V(r) = x{t)y(t) X-*-OO 2 lim (p Xx(r) = x(t) (23) (24) Ha az idősorok középértéke nulla, akkor a kovariancia-, ill. korreláció-függvények aszimptotikusan nullához tartanak. 2.3. Periodikus komponenst tartalmazó idősorok kovariancia függvénye A hidrológiai idősorok általában összetehetők három komponensből [4]: x(t) = E(t)+P(t) + r,(t) (25) ahol R(t) a trend-, P(t) a periodikus-, r)(t) a véletlenszerű komponens. A (25) formulából természetesen egy, vagy akár két komponens is hiányozhat. Tegyük fel, hogy az R(t) trendkomponenst kiszűrtük (például lineáris regresszió alkalmazásával) azaz a feladat — a gyakorlatban legsűrűbben előforduló —- periodikus komponenst is tartalmazó x(t) = P(t) + r,(t) (26) idősor kovarianciafüggvényének meghatározása. (Megjegyezzük, hogy számos szerző [5, 9, 15] a (26) felbontást tartja a legáltalánosabbnak — mivel az K(t) trend „végtelen nagy periódusnak" is felfogható.) (26) behelyettesítésével az x(t) idősor autokovariancia-függvénye: <p Xx(r) = x{t)x(t+T) = P(t)P(t+r)+P(t)r!(t+T) + azaz + r 1(t)P(t+T)+r l(t)ri(t+T) fxx{T:)=(ppp(r) + (pp r i(r) + (p T,p(r) + (p m(r) (27) Mivel a két összetevő független egymástól — (23) értelmében — (27) így írható: Mivel feltettük, hogy állandó, vagy periodikus összetevőt nem tartalmazó sztochasztikus folyamatok középértéke nulla, így ezek (21) keresztkovariancia-függvénye is nulla. Tehát statisztikusán független idősorok mindig korrelálatlanok is, azaz keresztkorreláció-függvényük azonosan egyenlő nullával: Qxy(r) = 0-, q v x(t) = 0, (22) Fordítva ez nem mindig igaz! Ha az idősorok korrelálatlanok, akkor nem szükségszerűen függetlenek is. Megjegyezzük hogy ha az {x{t), t£T) <Pxx(r)=cppp(r) + 2P(t) n(t)+<p m(t) (28) és ha a peroidikus összetevő P(t) középértéke nulla: (pxx{r) = q>pp{t) + (p m(t) (29) Ha az eltolási idő nő (t — OO), akkor az iq(t) véletlen jellegű összetevő kovarianciafüggvénye ((24) értelmében) a lim w (t) = ^(7) 2 (30) T-*00 IJIJ állandó értékhez vagy nullához tart, míg a P(t) periodikus összetevő tppp{r) kovarianciafüggvénye periodikusan ingadozik. Ha tehát az idősorban periodikus összetevő van, akkor nagy eltolási időkre az idősor autokovariancia-fiiggvénye nem tart aszimptotikusan egy meghatározott értékhez,
