Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
9-10. szám - Kontur István–Szöllősi Nagy András: A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése
Hidrológiai Közlöny 1973. 9—10. sz. 465 A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése KONTUR ISTVÁN«—SZÖLLÖSI NAGY ANDRÁS" Tanulmányunkban a hidrológiai észlelési eredmények elemzésénél fontos szerepet játszó korrelációfüggvények elméleti alapjait tekintjük át, és rámutatunk gyakorlati alkalmazhatóságukra. Az autokorreláció- és keresztkorreláció-függvények a hidrológiai idősorok belső tulajdonságainak feltárására (perióduskutatás, spektrumfüggvények), valamint hidrológiai rendszerek elemzésére (súlvfüggvény meghatározás) adnak lehetőséget. A külföldi irodalomban a cikkben ismertetésre kerülő vizsgálati módszerek elméleti alapjait általánosan ismerik és kiterjedten alkalmazzák [6, 9, 14]. A kezdeti lépések a hazai vízgazdálkodási kutatásokban is megtalálhatók, de az elméleti háttér tisztázásának igénye nélkül [10, 11]. Munkánkban ezt a hiányt kívánjuk pótolni, amennyiben igyekszünk rávilágítani a probléma matematikai alapjaira a sztochasztikus folyamatok elmélete elemeinek figyelembevételével. A cikk korlátozott terjedelme miatt nem törekedtünk — és nem is törekedhettünk — teljes matematikai szigorúságra. Az autokorreláció-, és keresztkorreláció-függvények tanulmányozása során sokat merítettünk a magyar nyelvű, de más szakterület irodalmából is [2, 6, 8]. A gyakorlati felhasználhatóság megkönnyítése érdekében a gépi számítás ALGOL nyelvű — RAZDAN 3 típusú számítógépre írt — programját is közöljük. A példák a BME Vízgazdálkodási Tanszékén készültek. 1. Matematikai alapok Sztochasztikus folyamaton bizonyos X(t) valószínűségi változók egyparaméteres sokaságát értjük, ahol a í paraméter egy T — általában idő — halmazon fut keresztül, és (X(t), tíT) módon jelöljük [31]. Ha az X(t) = X(t, u>k) lényegében két változós függvény (i>k változóját (elemi esemény) rögzítjük, akkor egy valós függvényt kapunk, melyet a sztochasztikus folyamat egy realizációjának nevezünk. Az X(*°)(t) realizáció a folyamat egy konkrét lefutását jellemzi (1. ábra). Idősornak az (X(í), tíT} sztochasztikus folyamat egy realizációjának véges szegmensét [18] nevezzük. Stacionáriusnak nevezünk egy sztochasztikus folyamatot, ha jellemzői nem függenek a vizsgálat kezdetének időpontjától. Az (X(í), t e T} folyamat összesség középérték-függvényén a N ÍE[X(< 1)]= lim -i V *(*>(<,) N (1) 1 kifejezést értjük. Stacionárius esetben <p(h, t 2) csak a t., — ti = T eltolási időtől függ (1. ábra). Az {X(t), 16 í 1} sztochasztikus folyamat idóközépértékén a T /*<*> a M[X(*>(í)] = ^lim ~ f X(*>(í)dí (3) o kifejezést értjük, melyet egyetlen — a &-adik — realizáció alapján határozhatunk meg. Stacionárius esetben az időközépórték nem függ A-tól, tehát /Í( 4)=X — konst. (1. ábra). A kovarianciafüggvény a időközópórtékből számítva: ?><*)(t) = M[(X(*>(í) - /ti l))(X(*)(t + t) - /»<*>)] (4) stacionárius esetben: T <p( T)= lim — j (X(t) — x)(X(t + r) — x) dt. (5) r-»oo T J Ha az w = B[X(í)] = M[X(í)]"« (6) összefüggés fenáll, akkor az X(t) sztochasztikus folyamatot ergodikusnak nevezzük [3], A ((i) összefüggésből következik az is, hogy ergodikus folyamat esetén a kétféleképpen számított kovarianciafüggvény megegyezik. x m(t) x m(t) t 1 \t 2 ' \ti ! t n H x<%) x'%) \t, :í, [ti ' ' ' 'tn x""(t) kifejezést értjük, amely az N számú realizáció rögzített időpontban felvett értékének várható értéke. Stacionárius esetben az összesség középérték-függvény nem függ a vizsgált t[ időpontjától, tehát /'('.,) = ~x — könnt. Az X(t) idősor kovarianciafüggvényén a 9>(<i, h) = E[(X(Í,) - ECX&HKZt«,) - K[X(í 2)])] (2) * Budapesti Műszaki Egyetem, Budapest. ** Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet, Budapest. 1. ábra. Az {X(t), tíT} sztochasztikus folyamai realizációi Puc. 1. PeaAU3amopbi cmoxacmwiecKoeo upoqecca {X(t, UT) Abb. 1. Realisationen des stochastischen Prozesses {(<), tíT)
