Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
11. szám - Egyesületi és Műszaki hírek
525 Hidrológiai Közlöny 1972. 11. sz. Beszámoló BESZiMOLÖ az 1971. évi varsói hidrológiai szimpozionról (Hidrológiai idősorok szerkezeti elemzése) A varsói hidrológiai szimpozionon, melyet „matematikai modellek a hidrológiában" címmel a Nemzetközi Hidrológiai Szövetség rendezett 1971. július 26 ós 31 között, jelentékeny figyelmet szenteltek a hidrológiai idősorok elemzésének. Kritikai értékelés igénye nélkül adunk általános tájékoztatást az idősorok szerkezeti elemzésével foglalkozó 23 tanulmányról, kiemelve a magyar szakemberek számára is új eljárásokat. Érdekes új színt jelent az idősorok elméletében az autoregresszív integrált átlagos elméletének alkalmazása, melyet Box ós Jenkins 1970-ben megjelent tanulmányában ismertetett. Erre több szerző hivatkozott a szimpozionon. Más oldalról Hurst 1951-ben bevezetett idősor-elemzését fejlesztik többen tovább. (Clark, Wallis és Malalas, O'Connell, Bloomer és Sexton.) Az idősor elemzés már hagyományos korrelációs analízise, spektrum-vizsgálat és a Markov-láncok elmélete is szerepelt (Todorovió és Dawdy, Yevjevich, Homeriki, Agarkov— Druzhinin — Konovalenko, J ovanovic —Dakkak —Űabric—Brajkovic, Davydova, Rozgyesztvenszkij, Mitosek). A mesterséges — szimulált — idősorok előállításának olvi alapjait ós megoldását szintén több tanulmány közli ( Wallis ós Matalas, O'Connel, Rao és Kashyap, Barton, Sarmanov, Hamlin és Kottegoda). A valószínűségelmélet alapján végzett kutatásról számolt be néhány tanulmány (Korganova és Kartvelishvili, Kalinin—Nikolskaya—Evstigneger—Zsuk, Cunnane és Nash, Dyck és Kluge, Q. A. Grinevich—A. G. Grinevich—Solovjova). Természetes vízfolyásban mért sebesség idősor sztochasztikus elemzéséről ír Hall és Johnston, valamint szellemesen mutat rá a sztochasztikus és parametrikus (determinisztikus) hidrológia kapcsolatára tanulmányában Quimpo. Több tanulmányban szerepel az úgynevezett Hurst törvény, mely a magyar olvasó előtt kevéssé ismert. Hurst összefüggést talált az idősor hossza (N) ós egy képzetes tározó térfogat között, ahol az utóbbit úgy kapjuk, ha teljes kiegyenlítésű tározó méretét rendeljük az eredeti idősorhoz (természetesen az idősor nem szükségképpen vízhozam, más hidrológiai elem is lehet). A jellemző mérőszám Itmelynek meghatározása az alábbi: legyen az idősor X u X 2. . .Xy és képezzük az idősor átlagértékét: X. A képzetes tározót egyenletesen üzemeltetve a különbség az egyenletes kibocsátás és a tényleges idősorösszeg között a k. lépésben: k D k= 2 Xi-k-X i = 1 A Dk sor maximuma ós minimuma közötti különbség a képzetes tározó méretét adja: Ry = max (Dt) — min (Dk). Ez a jellemző szám a 11 u rst - összefüggés be n, mely szerint Rjf/ajv ahol ON — a szórás és a h állandó, mely Hurst vizsgálatai szerint 0,5 és 1 közé esik. Mandelbrot ós Wallis vizsgálatai szerint az Rn/oy = = (N/2) h összefüggést használva h = 0,73 és <7/ t = 0,09. Feller szerint Rn várható értéke: E{Ry} = (N • a/2) 1 ' 2 • a. A konferencia anyagában több gyakorlati megoldás található ezen a tóren. A konferencia másik új iránya az idősorelemzósben használt egyszerű operátor alkalmazása ( Box és Jenkins). Legyen B = Zt_JZt, ahol Zt az idősor <-edik eleme és B m = Zt_ m/Zt. Bevezetvo a V differencia operátort; \jZt = Zt-Zt_ x = (\-B)Zt. A V differencia operátor inverze: V-1 az összegzés operátora. Az összes í időpontot megelőző értékre ki kell terjeszteni az összegzést, így V~ 1Z t=Zt + Zt_ i+ . . . =(1 +B + B*+ . . . )Zt = = (1—B) 1 - Zt. Az autoregresszív-mozgó-átlag folyamat úgy állítható elő, hogy a t időpontot megelőző értékeket valamilyen ip,, <p„, . . . <p p számokkal szorozzuk a p tagig visszamenőleg, valamint egy q tagból álló véletlen, generált idősort is hozzáveszünk. Az utóbbi generált idősor a független véletlen Gauss-folyamat (At) (fehér zaj). Az előállítás rendöségét a p és q szabja meg. Konkrétan: Zt= <p 1Zt~ 1 + <p-.Zt-z + ... fpZt^p 4- At - — O..At2... . . .ÚqAt-g. A B operátor figyelembevételével a megelőző tagok mind kifejezhetők Zt-vel, illetve At-vei így azt kapjuk, hogy (1 — i•p lB - <p.,B' 1 — <ppB p)Zt = = (1 - 0 lB - Q..B 1 - . . . — Q qB q)At. Rövidebb írásmóddal: 0(B) •Zt=0(B)At, <I> és 0 p és g*-ad rendű polinomok. Amennyiben a folyamat nem stacionárius, az eredeti Zt sztochasztikus folyamat d-ed rendű differencia függvényét vesszük: Wt = SJ AZt, amely már stacionárius, vagyis <D(B)Wt = 0(B) • \J dZt=GAt. A folyamatot a p, cl, és q számok fogják jellemezni. Q'Connel által bevezetett rövidítéssel: AR IMA (p, d, q) (autoregressivi'ntergrated '/(loving average, vagy magyarul is: autoregresszív integrált mozgó átlag). Számos vizsgálat szerint p, d és q számok egyike sem haladja meg a 2-t. O'Connel is csak az ARIMA (0, 1, l)-et és az ARIMA (1, 0, l)-et vizsgálja. Clarke a vízgyűjtő terület vízháztartási vizsgálatára használta Box és Jenkins eredményeit. Clarke inputoutput modelljében a bemenet a csapadék és párolgás különbségének idősora: Xt — P — i-E a (P — csapadók, E 0 — tényleges párolgás), a kimenet idősoraként a lefolyó vízhozam logaritmusát veszi, normalizálja az adatokat és így lehetetlen, negatív lefolyást nem kaphatunk a visszatranszformálás után: Yt = log Qt (Qt — a vízhozam). Clarke a X tényezőt éven belül változónak vette fel. • Hamlin ós Kattegoda a vízhozamidősor sztochasztikus generálási eljárás négy modelljét mutatta be: autoregresszív típusú: n £(<) = ^ ai-í(t-i)+7](t) i = 1 ahol £(<) a valószínűségi változó, r/(t) véletlen „zaj" és az állandó aj-k pedig az adatsor korrelációs tényezői. A mozgó átlag folyamat a fentihez hasonló. A harmadik modell Thomas ós Fiering által javasolt összefüggés: X(t + 1 )=X(j + 1) + Bj[X(t)-X(j)] + V(t)-s(j+ 1)( l—Cj) 1 a képletben X(t + 1) — az előrejelezni kívánt hónap X(t) a megelőző hónap aktuális lefolyási értéke, A'(j+ 1) és X(j) ugyanezen naptári hónapok sokéves átlagvízhozamai, a Bj a regressziós tényező, Zj a korrelációs tényező a; és a (j -f 1) hónap között, sj + 1 a (j + 1) hónap adataiból számított szórás, és y(t) egy véletlen, gaussi zaj folyamat. Hamlin és Kattegoda negyedik modellje Mandelbrot és Wallis eredményeit fejleszti tovább, mely szintén a Hurst-föle h tényezőre támaszkodik. m £(í) = (/í-0,5)- ^ i^f. v(t + i-\) i = 1 Itt a rendszer emlékezetét m mutatja és r/(t) a véletlen komponens. Hamlin és Kattegoda az idősor elemzéséhez 5 napos értékeket vesz alapul, gammaeloszlást alkalmaz, a periodikus jelleg figyelembevételére az autokorrelációs függvényt és Fourier analízist használ. Bloomer ós Sexton havi és napi idősorok előállításával foglalkozik. A szintetikus idősor előállítás hét lépését sorolja fel Roesner ós Yevjevich nyomán: i) trend meghatározás, ii) Fourier analízis (periodicitás vizsgálat), iii) a h Hurst kitevő meghatározása, iv) lineáris modellel a stacionárius idősor előállítása i), ii) és iii) eredményeinek felhasználásával, v) a maradók tag (residual) idősorának elemzése, vi) a maradók tag idősorának generálása, vii) a generált ós az észlelt idősor összevetése. Bloomer és Sexton a iii) és a v) ponttal foglalkozik, a Hurst összefüggést úgy definiálja, hogy az nemcsak az időtartamtól függ (N), hanem a kezdő időtől is (í): R(t, N) (aft, N) = K • NWV. így a korábbi modellnél teljesebb, időfüggő modellt állíthatunk elő.
