Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

1-2. szám - Dr. Mistéth Endre: Műtárgyak árvízlevezetéssel való méretezése valószínűségelmélet alapján

Dr. Misiélh E.: Műtárgyak árvízlevezetésre való méretezése Hidrológiai Közlöny 1972. 1—2. sz. 51 Ha azt vizsgáljuk, hogy mi annak a valószínűsége, hogy pont a T-ik évben jelentkezzen először ez a p valószínűségű árvíz, vagy annál nagyobb, az évi maximális vízhozamok függetlensége miatt, ez az érték: qr-i.p Annak a valószínűsége tehát, hogy az elkövetkező T évben legalább egyszer fordul elő />%-os vagy annál nagyobb évi maximális vízhozam, azon valószínűségek összege, hogy ez az árvíz az 1, 2 . . . T-ik évben következik be először: A keresett valószínűség : P

T=p + pq + pq

2+ • • -M

T~

l A felírt képlet olvan mértani sor összegét adja, amelynek első tagja p, kvóeiense pedig q. Tehát felhasználva az (1) összefüggést, 1 - a

T ( 1 \

T p

T=

P—JL=l-(lp

)T=

l_[

l_±_j (2

) összefüggéshez jutunk, ahol Pt a keresett valószínűség, t a kérdéses árvíz átlagos visszatérési ideje (a p valószínűség reciproka) T a vizsgált (a műtárgy élettartalmának megfelelő) elkövetkező időszak. Ha tehát a vizsgált időszak éppen megegyezik a visszatérési idővel, akkor ^ = (3) Ez az összefüggés T — esetén határérték felé tart. Tehát kellően kicsiny előfordulási valószínűségek esetén, annak a valószínűsége, hogy a vizsgált jelenség az átlagos visszatérési időnek megfelelő elkövetkező időszak alatt legalább egvszer előfordul P—0,632. A (3) kifejezésből kiszámítható minden egyes P

T = — vállalt kockázathoz a műtárgy élet, , 1 , tartamának, T-nek a függvényében az a p = — előt fordulási valószínűség, amelyre a kérdéses műtárgyat méretezni kell: A számértékeket az alábbi táblázat mutatja: Pt = k kockázat [%| T időtartam [év] 10 15 20 25 50 100 í i) 50 40 30 25 20 15 10 5 2 1 3.43 4.44 6, 12 7,4(5 9,47 12,8 19,5 39,5 99,5 198,4 4,02 7,74 10,3 14,5 17,9 22,9 31,3 48,1 98,0 248,0 498,0 6,69 14,9 20,1 28,5 35,3 45.3 62,0 95.4 195,5 496,0 996,0 1 1,0 22,1 29,9 42,6 52.6 67.7 90.8 142,9 292,0 743,0 1492,0 14,9 29.4 39,7 56.5 70.0 90.1 123,6 190,3 390,0 990,0 1992,0 18,0 36,6 49.5 70.6 87,4 112,5 154,3 238,0 488,0 1238,0 2488,0 35,6 72,6 98,4 140,7 174,3 224,6 308,0 475,0 976,0 2475,0 4975,0 72, 144, 196, 281, 348, 449, 616, 950, 1949, 4950, 9953, Például, ha 2 éves provizórium esetén 50%-os kockázatot vállalunk, akkor /; = ^~100=5,04%-os előfordulási valószínűségi árvízre kell a létesítményt tervezni. A tanulmányban bemutatott Kisköre-i példában ha a számítások szerinti 5,2% kockázatot vállaljuk, akkor 100—^--/J. 0,1025 %-os árvízhozamra kell a műtárgyat méretezni. Felhívjuk a figyelmet azonban arra, hogy az ilyen kis valószínűségi vízhozamok rövid — 50—100 éves — adatsorokkal történő becslése igen bizonytalan. Például a tiszafüredi szelvényben az 0,1% valószínűségi árvízszint 70%-os tűrési sávja 240 cm, a 95% szignifikancia szintű tűrési sáv 430 cm. (Azaz mindössze 70%-os „biztonsággal" állíthatjuk, hogy a keresett vízállás 1030 és 1270 cm között lesz, 95% „biztonság"esetén pedig csak annyit mondhatunk, hogy a keresett érték 980 és 1410 cm között van!) ,8 3 0 0 ,0 ,0 0 0 0 0 Egyes műtárgyaknál a létesítmény egyes elemeit különböző vízhozamokra célszerű méretezni. Például nyilvánvalóan nem gazdaságos ugyanarra a vízhozamra méretezni a völgyzárógát koronaszintjét és az árapasztó utófenekét. A méretezés alapjául szolgáló vízhozamnál nagyobb érkezése, az első esetben gátszakadást, katasztrófát okoz, az utófeneket megbontó vízhozamok levonulása után pedig csak olcsóbb helyreállítási munkát kell elvégezni. Az utófenék leggazdaságosabb kialakítására azt kell tudnunk, hogy hányszor számíthatunk az elkövetkezendő T időszakban a méretezés alapjául szolgáló NQ

P értéknél nagyobbra, hányszor kell részleges helyreállítási költséggel számolni. Keressük tehát a p valószínűségű (p=—~ átlav gos visszatérési idejű) NQ

P vízhozamú árvizek adott T időszak alatt K alkalommal való bekövetkezésének valószínűségét. Ez a K szám — igazolható módon — Pomrra-eloszlást követ, azaz p

(K = k)= £ r^JM. {4) x = k' Ez a képlet viszont a nem teljes Gamma-függvény közelítő képlete, amelyre a numerikus táblá-