Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

8. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek

Korszerű eszközök, matematikai módszerek Hidrológiai Közlöny 1972. 8. sz. 331 eredményt kaptuk, hogy a momentum módszerrel mindig gyengébben illeszkedő simuló eloszlásfüggvényt kaptunk, mint a maximum likelihood, módszerrel. A 2. ábrán, példaképpen, egy napi vízhozamokból álló minta gamma típusú simuló eloszlásfüggvénye jellemzőinek változását mutatjuk be a változó x

0 lokalizációs paraméter függvényében. Az ábrán X és k a függvény másik két paramétere, M a várható értéke, D a szórás, x

2 pedig az illeszkedés jóságát méri; x™

o

n a momentum módszerrel meghatározott, x'™*

1- a maximum likelihood módszerrel meghatározott, x°

p

t pedig az optimális — vagyis a X

2(x

0) függvény minimumához tartozó — x

0 paraméter jele. Látható, hogy a példában a maximum likelihood módszerrel meghatározott x

0 érték mindössze 5%-kal, a momentum módszerrel meghatározott viszont 14%-kal tér el a X

2 illeszkedési mérő-szám szerint optimális értéktől. Az elmondottak következtében igényesebb vizsgálatok elvégzéséhez paraméterbecslési eljárásként csakis a maximum likelihood módszer ajánlható. E módszer alkalmazás pl. a gamma típusú simuló eloszlásfüggvény esetében jóval több számolást kíván ugyan, mint a momentum módszer, azonban elektronikus számológép alkalmazásával ez a nehézség könnyen legyőzhető. 7. összefoglalás Előadásom bevezetőjében örömmel állapítottam meg a matematikai statisztikai módszerek alkalmazásának fokozódó elterjedését a magyar hidrológiában. A továbbiakban a valószínűségi eloszlásfüggvénnyekkel kapcsolatos néhány nézethez fűztem megjegyzéseket. Valamely valószínűségi változó eloszlását jellemző elméleti eloszlásfüggvény mindig is isme2. ábra. A gamma simuló eloszlásfüggvény jellemzői, mint az x

0 paraméter függvényei Duna—Nagymaros, 1901—1966. augusztus retlen, Glivenko-tétele szerint azonban — bizonyos feltételek mellett — jól becsülhető a változóra vonatkozó mintából készített tapasztalati eloszlásfüggvénnyel (vagy a vele egyenértékű tartóssági görbével). A simuló eloszlásfüggvény annyira jó becslése az elméleti függvénynek, amennyire jól illeszkedik a tapasztalati függvényhez. A simuló függvénytől tehát nem várható, hogy jobban tájékoztasson a valószínűségi változó eloszlásáról, mint a tapasztalati függvény. A mintaelemek függetlenségének és egyöntetűségének vizsgálatára általánosan alkalmazott Wald — Wolfowitz és a Szmirnov-féle próba a hipotézisek teljesülésének csak szükséges, de nem elégséges feltétele. E próbák mindegyikéhez kölcsönösen fel kell tenni, hogy a másik próba eredménye kedvező. Továbbá a próbák önkényesen felvett valószínűségi küszöbértéken alapulnak. Mindezek miatt a próbák eredménye sohasem lehet teljesen megnyugtató. A hidrológiai adatsorozatok elemei a valóságban sohasem függetlenek egymástól. Figyelembe véve azonban a Glivenko-tétel egy újabb általánosítását, a függetlenséget nem is kell megkívánnunk, elég, ha a mintaelemek ergodikus stacionárius sztochasztikus folyamatból származnak. A magyar hidrológiában előszeretettel, sőt, szinte kizárólag a gamma típusú simuló eloszlásfüggvényt alkalmazzák. A külföldi irodalom és a hazai vizsgálatok szerint azonban bizonyos esetekben előnyösebben alkalmazhatók más (pl. lognormális) típusú simuló függvények is. A simuló eloszlásfüggvények előállítására szolgáló két paraméterbecslési eljárás: a momentum módszer és a maximum likelihood módszer közül nálunk kizárólag az elsőt használják, pedig ez — a külföldi és a hazai vizsgálatok szerint — általában rosszabb becslést ad, mint az utóbbi. Ha célunk a simuló eloszlásfüggvények lehetőleg minél pontosabb becslése, erre nem a momentum, hanem csakis a maximum likelihood módszer ajánlható. IRODALOM [1] Szesztay K.: Statisztikai módszerek a mérnöki hidrológiában. Vízügyi Közlemények, 1953/1. [2] Szigyártó Z.: Hidrológiai események valószínűségének becslése eloszlásfüggvények segítségével. Vízügyi Közlemények, 1966/4. [3] Bogárdi I.—Némethy I.: Töltések árvízi terhelése. Vízügyi Közlemények, 1968/2. [4] Csorna J.: Vízállásadatok egyöntetűségének vizsgálata. Hidrológiai Közlöny, 1966/10. [5] Goda I.: Többnapos nagycsapadékok statisztikai vizsgálata. Építés- és Közlekedéstudományi Közlemények. 1965/3—4. [6] Winter J.: Talaj vízjárások valószínűségi jellemzése. Hidrológiai Közlöny, 1969/2. [7] Rényi A.: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1967. [8] Domokos M.—Szász D.: Eloszlásfüggvények alkalmazása a vízkészlet-gazdálkodásban. Hidrológiai Közlöny, 1968/10. [9] Doob, I. I.: Stochastic Processes. Jon Wiley Sons, 1953.