Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

2. szám - Dr. Nagy Lajos: Rugalmas nyomáshullámok elektromos modellezése elágazó csővezetékek esetében

76 Hidrológiai Közlöny 1971. 2. sz. Dr. Nagy L.: Rugalmas nyomáshullámok modellezése maga a R +jwL G+jcoC kifejezés igen fontos fizikai fogalmat definiál: a hullámellenállás fogalmát. Miként láthatjuk, valamely vezeték hullámellenállása a vezeték hosszegységére eső L önindukción, C kapacitáson, R ohmos ellenálláson és a G átvezetésen kívül függ még a vezeték által közvetített váltóáram a körfrekvenciájától is. Ha a vezeték ohmos ellenállása R és az átvezetése G elhanyagolható, a hullámellenállás a következő egyszerű alakra redukálódik: (25) amikor is a hullámellenállás független az co körfrekvenciától. A csővezeték által szállított folyadékban tovaterjedő nyomáshullám esetében is definiálhatjuk a hullámellenállás fogalmát, ha a (25) alatti képletbe az L önindukciós tényező helyett a folyadék sűrűségét o-t és C kapacitás helyett a folyadék rugalmassági modulusának E-nek a reciprok értékét tesszük be. Hidraulikai értelemben így a hullámellenállás : Z=] ÍQ.JS. (26) (Itt a csőfal anyagának rugalmassági moduluszát még nem vettük tekintetbe.) Hogy a hullámellenállás és a terjedési együttható után a harmadik fontos fogalmat: a visszaverődési tényező fogalmát is bevezessük, térjünk vissza egy pillanatra a (24) alatti differenciálegyenlethez és írjuk fel azt mégegyszer a következő alakban: áHJ_ dx

2 = y-TJ = 0. (27) Ennek a közönséges másodrendű, lineáris homogén differenciálegyenletnek az általános megoldása : Ux = UkC r* + UlcC+V* = u

x + uá, (28) ahollt{- és a vezeték kezdőpontjára vonatkoztatott feszültségértékeket jelentik. A (23*) ós a (24') összefüggés értelmében: lx = ü

k ± e+v* _ üí (29) R R Z Z Az U és az I komplex amplitúdók természetesen időben állandók, de függenek a kezdőpont tói mért x távolságtól. A vezeték végpontjára vonatkoztatott értékeket v indexszel látva el, az Ohm-féle törvénynek komp lex amplitúdóra érvényes általánosítása értelmében a vezetéket lezáró ellenállás: Ro — Uv h (30) Ennek, továbbá a (28) és (29) alatti összefüggésnek figyelembevételével a következő összefüg(24*) gést kapjuk: R„ = u

v + u

v u

v+u„ Z. (31) Uv_ ~Z Z u Ha a rendszer visszaverődési tényezője alatt azt a számot értjük, amely azt fejezi ki, hogy a beeső hullám energiájának hányadrésze verődik vissza, úgy a beeső hullám feszültség amplitúdója ~ü

v és a visszavert hullám feszültség amplitúdója ~ű

v között a következő összefüggésnek kell fennállania. u

v = pu

v, ahol p a visszaverődési tényező. ;32) u'v ezen értékének a (31) alatti kifejezésbe való bevezetésével R

v=

l-±lz, l+p és innen a visszaverődési ténvező: P=: R

v—Z (33) (34) Rr+Z Miként majd látni fogjuk, a visszaverődési tényező fogalmát a rugalmas nyomáshullámok esetében hidraulikai értelemben is fogjuk tudni definiálni. Most visszatérve az elektromos távvezeték esetére, a gyakorlatilag megvalósítható sok eset közül három kitüntetett esetre helyezzük a hangsúlyt. a) Az első esetben a vezeték végét egy végtelen nagy R

v váltóáramú ellenállással zárjuk le (ez az eset fizikailag akkor is realizálódik, ha a vezet ék vég nyitott). Ebben az esetben a visszaverődési tényező : R

v — Z oo — Z oo ^ ^ ~R

V+Z oo+Z 0

0 ' A Ji ezen értékét behelyettesít ve az (35) u

v = p -u

v (35a) összefüggésbe, a következő egyenlőségre jutunk: Ti'

v—ü

v. (36) Ez fizikailag azt jelenti, hogy a visszavert hullám feszültség amplitúdója a vezeték végpontján megegyezik a visszavert hullám amplitúdójával ugyanezen pontban. Ezen okból a hullám amplitúdó itt megkétszereződik. Mivel a feszültség a hidraulikai csővezeték esetében a nyomásnak felel meg, érthető, hogy a kosütés által keltett nyomáshullámok amplitúdója a csővégeken hogyan kétszereződhet meg, vagy több visszavert hullám egyidejű beérkezése esetén hogyan sokszorozódhat meg és vezethet csőtörésre. b) Visszatérve elektromos analógiánkhoz, lássuk most a második kitüntetett esetet, amikor is a vezeték végpontját fí

v=0 ellenállással zárjuk le,