Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

6. szám - Oelberg G.–dr. Winter J.: Megjegyzések a Gamma 3 és Pearson III. eloszlásfüggvényekre vonatkozóan

Hidrológiai Közlöny 1971. 5. sz. 261 HIDROLÓGIA Megjegyzések a Gamma 3 és Pearson III eloszlásfüggvényekre vonatkozóan OELBERG GUSZTÁV* — Dr. WINTEli JÁNOS" A magyar hidrológiai gyakorlatban az utóbbi években dr. Szigyártó [5] nyomán leggyakrabban a háromparaméteres Gamma eloszlásfüggvényt alkalmazzák, de a Pearson III eloszlásfüggvény alkalmazása is gyakori. A matematikai szakirodalomban [2] ismert, hogy a Gamma és Pearson típusú eloszlásfüggvények azonosak, vagyis ugyanazon eloszlásfüggvény kétféleképpen felírt alakja, kétféle számítási módja. Az alábbiakban egyszerű matematikai eszközökkel igazoljuk a hidrológusok körében külön kezelt két eloszlásfüggvény azonosságát. 1. A Gamma 3 eloszlásfüggvény átalakítása A Gamma 3 eloszlásfüggvény számításra alkalmas egyszerű alakja [5]: Xp Xg + Xt 0 ' 2A x

t táblázatbeli érték; x

e=f(k, p) (1) p előfordulási valószínűség. A függvény paramétereit a centrális momentumokból határozhatjuk meg: Xn=~X— 2 X=

XX« M 3 a A és k kifejezéséből M, j x

0 M, (2) A

2 Mo—o

2 helyettesítéssel: k -=ainnen X = fk A

2 ff Ezt behelyettesítve a (2) összefüggésbe: _ k _ k _ ínnen azaz = x — T ~ ff: VI 2 k 2 k 2 k ~ P (V&)

3 ff

3 fk= 2ff

3 M

3' k-í M M

3J ' (3) (4) ff° = 2cr

3 w vagyis összehasonlítva a Gamma 3 függvény eredeti és átalakított paramétereinek összefüggéseit: Ml 71/„ k = (x — x

0)

2 M, A = X Xn M„ x

0 = x — fka H^í Megállapíthatjuk, hogy maguk a paraméterek is egyszerűsödtek. Ha azonban x

0-ról áttérünk az x-re, mint origóra, akkor ezeknek a paramétereknek a kiszámítása részben el is marad, mert az eloszlásfüggvényt már a következő paraméterek meghatározzák: x\ cr; k. A Gamma 3 eloszlásfüggvény gyakorlati alkalmazására kidolgozott táblázat: x

o=0 és A=0,5 feltételezéssel készült. A gyakorlati alkalmazásra kidolgozott összefüggést (1) általakítva a (2) felhasználásával x

p is kifejezhető a segítségével: x

t — k xt _ 1 (x

t ~ T 2A

= T (Y J' Xp — ÍCO + — x n X = —— helyettesítésével Xt_ __ 2 ' Xp — x -ffk (6) vagyis x

p és ~x közötti különbség arányos ff-val; és &-nak, valamint a rendelkezésre álló táblázatból kivehető x

t értékének egyértelmíí függvénye. Bevezetve a következő jelölést: xr*'í 2 -k fk (7) az alábbi, a Normál eloszlásfüggvénnyel teljesen egyező alakú kifejezést kapjuk: (5) * Mélyépítési Tervező Vállalat, Budapest. ** Budapesti Műszaki Egyetem, Vízgazdálkodási Tanszék. Budapest. (8) A Gamma 3 eloszlásfüggvény ábrázolható tehát a középértékből, mint közös alapértékből kiindulva, méghozzá úgy, hogy egységnek a középeltérést, a ff-t választjuk. így a különböző adat-