Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)

2. szám - Déri József: Sztochasztikus program a biztonsági vízkészlet meghatározására

80 Hidrológiai Közlöny 1970. 2. sz. Déri J.: Sztochasztikus program. Ezek figyelembevételével a (2) egyenlet a következőképpen is felírható: f f(C/

) dU + oo (5) Jm dU Az (5) egyenlet számlálója definíciószerűen annak valószínűségét fejezi ki, hogy U<' R, vagyis, hogy a tározott készlet elegendő a vízigények kielégítésére, tehát a számláló a megbízhatósági együtthatóval (q= 1 — />-vel) egyenlő, így felírható: n P(U < 7?)= J f(U) dU = 1 —p. (6) Az (5) egyenlet nevezője pedig az ellentett esemény valószínűségét fejezi ki vagyis azt, hogy R. Ebben az esetben a tározott vízkészlet nem elegendő a vízhasználó számára, ami azt jelenti, hogy vízhiány várható. A nevező tehát a kockázati együttható

1 értékét (p) jelenti, vagyis P(U>R)= I í(U)dU=p. (7) Végeredményben tehát: ti I nu

) d U 1 —p c

2 + <*> fm (8) dU Ezek után kiszámítható az optimális p kockázati együttható, ill. az (1—p) megbízhatósági együttható számértéke: es P = 1 -p-. Ci + C^ C J + C

2 (9) (10) C

l + e

2 illetve a megbízhatósági együttható (vagyis annak a valószínűsége, hogy nem lesz vízhiány) 1 —p = Ci + c

2 legyen. A (9) és (10) egyenlet értelmében a biztonsági vízkészlet optimális mennyiségének olyannak kell lennie, hogy a vízhiány valószínűsége (vagyis a kockázati együttható) c, P = 2.2. A vízhasználó biztonsági vízkészlete Meg kell határozni ezután a biztonsági vízkészlet nagyságát (R) oly módon, hogy az 1 > (I' + R) esemény valószínűsége az előbbiekben ismertetett p kockázati együtthatóval legyen egyenlő. Matematikai jelöléssel ez a feltétel a következőképpen írható fel: P(I>r + R)=p (11) vagy P(i—r>R)=p. (12) Ahhoz, hogy a (12) egyenletből meghatározható legyen az R, ismernünk kell az I valószínűségi változó eloszlását. Elfogadhatónak látszik azt feltételezni, hogy I valószínűségi változó normális eloszlású, várható értéke P és szórása a. A normális eloszlás sűrűségfüggvényét ekkor a következő egyenlet fejezi ki: i a-i'f f(/) = — 2T

2 (13) of 271 Az R tározandó vízkészlet nagyságát azzal a feltételezéssel számítjuk ki, hogy az (I — P)^> R egyenlőtlenség kielégülésének a p valószínűség felel meg. Ha az I valószínűségi változó eredeti alakja helyett bevezetjük a (14) redukált valószínűségi változót, a következő kifejezést kapjuk: f(z) = 1 -e 2 Í2 (15) 71 A feladat az, hogy a z

v redukált valószínűségi változónak olyan (a p valószínűségtől függő) értékét határozzuk meg, amelynél fennáll a következő egvenlet: 1 Í2n + ~ / 2 dz = p (16) 1 A kockázati együttható (p) annak valószínűségét fejezi ki, hogy a (tározott) biztonsági vízkészlet nem bizonyul kielégítőnek, a lekötöttnél nagyobb vízigény fedezésére. Ha pl. p = 5 % (p = 0,05), ez azt jelenti, hogy 5 % a valószínűsége annak, hogy a (tározott) lekötött vízkészlet nem elegendő, vagyis, hogy vízhiány lép fel. A kockázati együttható helyett használhatjuk a megbízhatósági együtthatót (q), amely az ellenkező esemény valószínűségét fejezi ki, vagyis, ha p = 5%, akkor q= 100— —5 = 95%, ami azt jelenti, hogy a (tározott) lekötött biztonsági vízkészlet 95%-os biztonsággal elegendő a vízigények kielégítésére. Az egyenlet grafikus megoldása során z

v olyan értékét határozzuk meg, hogy a 2\a ábrán bevonalkázott terület a z

v és +oo közötti tartományban p-ve) legyen egyenlő. (A gyakorlatban z

v értékét a normális eloszlás táblázatából határozzuk meg [8].) A felvett feltételezések értelmében az R biztonsági vízkészlet olyan kell, hogy legyen, hogy a vízhiány, vagyis (I—/')>- R esemény valószínűsége p I p legven; ekkor > z

v. Ebből következik, hogy R= Zn • O (17)