Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)

12. szám - Dr. Bogárdi János: A lebegtetett hordalékszállítás általános egyenletei

534 Hidrológiai Közlöny 7.970. 12. sz. Dr. Bogárdi J.: A lebegtetett hordalékszállítás V. X lebegtetett hordalékmozgás nem egyensúlyi állapotnál Az előző fejezetben (egyensúlyi állapot esetén) tárgyalt elméleteknél a legkülönbözőbb feltevésekkel élve határozták meg a hordalék mozgást. A feltételek között mindegyik módszernél természetesen szerepelt, bogy a folyamat permanens (vagyis időállandó), a hordaléktöménység a vízmozgás x főiránya szerint sem változik, és hogy az áramlás kétdimenziós. A nem egyensúly i helyzetnél végbemenő hordalékmozgásnál a fent említett feltételek közül vagy az elsőt, vagy a másodikat nem köthetjük ki, hiszen éppen a töménység idő vagy vízmozgás szerinti változása következtében szűnik meg a lebegtetett hordalék mozgás egyensúlya. A jelenség bonyolultságára való tekintettel nyilván az ilyen nem egyensúlyi helyzetnél történő lebegtetett hordalékmozgásnál is szükségszerű több elhanyagolás bevezetése. Nem egyensúlyi állapotnál a hordaléktöménység változását kifejező egyenletek a lehetséges elhanyagolások különböző csoportosításával többféleképpen felírhatok. Az irodalomban gyakran idézett általános differenciálegyenlet : ac dx dx

1 óyamely a hordalék tömegmérlege permanens és kétdimenziós folyamatnál (1°, 2°) figyelembe véve még a 4°, 5°, 7°, 8°, 10° és ll°/c feltételt is. A 2° szerint a turbulens vezetési tényezőnek csak e

v függőleges és e

x főirányú összetevője van és e

v a vízmélység (y irány) e

x pedig az x főirány szerint változik. Mivel sem ezeknek, sem v főirányú sebességnek y, illetve x szerinti függvényei nem ismeretesek, a (40) differenciálegyenletre általános megoldást még nem sikerült találni. A nem egyensúlyi helyzetnél való lebegtetett hordalékmozgást jellemző általános differenciálegyenletet tehát bizonyos feltevésekkel egyszerűsíteni kellett. A leggyakoribb feltevés, hogy e

x és F

y egymással egyenlő vágy legalábbis arányosak egymással. A turbulens hordalékszállítási elmélet törvényszerűségeiből ismeretes [6, 3], hogy parabolikus sebességeloszlást tételezve fel, a hordalékkeveredési együttható meghatározása nagymértékben egyszerűsbödik. Ha a felszíni sebességet ty

S

2-el löliük, akkor v=v

fs

z-b(D-y)

2 (50) alakban írhatjuk fel a parabolikus sebességeloszlást jellemző egyenletet. Az (50) képletben b állandót, D pedig a teljes vízmélységet jelöli. Ebben az esetben a sebességgradiens ty=

2"

DV Dl (51) A hordalék turbulens vezetési tényezőjének közismert összefüggése szerint Eyv ;,i áv dy (52) Az (51) és (52) egyenlet összevetéséből végül is azt kapjuk, hogy £y -2b Do (53) vagyis parabolikus sebességeloszlásnál F„ független az y vízmélységtől. Ha továbbá feltételezzük, hogy de

xfdx? és d

2C/dx

2 elhanyagolható (3°/a), és figyelembe vesszük, bogy az (53) szerint de ldy=0, akkor ac 8 c a 2c 8« ' - a,

2 <

54

) differenciálegyenlet fejezi ki a hordaléktöménység változását. Ha a fenti differenciálegyenletnél még azt is feltételezzük, hogy a töménység az x irányban sem változik (3°/b), vagyis dCjdx=0, akkor a C a 2C dy dy(55) differenciálegyenletet kapjuk, amelyből ha egyensúlyi állapotnál levő hordalékmozgást tételezünk fel, integrálással — mint láttuk — valóban a (34) alatti differenciálegyenlet adódik. Közvetlenül is belátható, hogy a (49) differenciálegyenlet tulajdonképpen a (16) egyenlet megfelelője, ha a sűrűség helyett a C töménységet írjuk és az 1° szerinti permanencia és 4° szerinti forrásmentesség feltételezést alkalmazzuk. így ugyanis (16) a következő alakban írható: div (Cv

h — £ grad C) = Ü (56) amely, a 2° feltételnek megfelelő kétdimenziós esetre skaláris alakban (div v=0 feltételezésével): dC ac d < zc \ d < dc \ /BB

V A 1 l°/c feltétel szerint í tenzor minden eleme az xx és yy összetevők kivételével zérus. A kettős indexet elhagyva e

x illetőleg e

y jelöli e két zérustól különböző tenzor komponenst. A 7° feltétel szerint vh=v — w és a 10° feltétel szerint v

y*€a>. így (57)-ből: dC ac V

X— Ü) dx de

x 3C | dey a

c ! dy dx dx dy dy a 2c a

2c +E

r!te

2+e

v dy

2 formailag is azonos a (49) egyenlettel. Megemlítjük, hogy Kalinske A. A. differenciálegyenlete a (49)-től csak annyiban különbözik, hogy a vezetési tényező hely szerinti változását elhanyagolta. így szerinte a ac a c a

2c a

2c V — = CO — YEX „ +£,< dx dy dx

2 dy

2 (58)