Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)
9. szám - Dr. Vágás István: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok valószínűségi jellemzée
Dr. Vágás I.: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok Hidrológiai Közlöny 1970. 9. sz. 413 Ezzel előttünk áll — k—1, 2, 3. .. helyettesítések mellett — a (25) differenciálegyenlet-rendszer. Ennek megoldása — mint láttuk — a p 0(í) függvény számára megszabott határfeltételtől függ. Ha, mint kezdeti ráhatást, az egységugrást működtetjük, a (32) egyenletek, ha az egységimpulzust, úgy a (42) egyenletek adódnak megoldásként. A (42) egyenletek segítségével egyébként szuperpozícióval minden összetett eset leírható. így a bolyongás elméletének a legtisztábban valószínűségi alapjaiból is előállíthattuk az átfolyásos láncolati rendszerek differenciálegyenletrendszerét. Ez a hidraulikai jelenség valószínűségi eredetének közvetlen formában adott bizonyítéka. Minthogy a bolyongás elmélete a „sorban állás" folyamatainak jellemzésére is alkalmas [1], ennélfogva az átfolyásos láncolatok olyan sorbanállásos kiszolgálási modellel is azonosíthatók, amelyben a sorban állók átlag tá időközökben érkeznek; a kiszolgálási idő pedig mindenkor kihasznált, tekintve, hogy az érkezések száma nagyobb, mint a távozásoké. A „sorban álló" elemekkel itt egyébként a sorszámaik szerint feltöltődésre kerülő medencék számát azonosíthatjuk, az adott időpontban értelmezett feltöltődöttség (kifolyási vízhozam) mértékével, mint az adott-„sorhosszúság" kialakulási valószínűségével. A differenciálás operátorával szabályozott rendszerek viselkedésének valószínűségi jellege A vízállástól lineárisan függő válaszfüggvény szerinti átfolyások egyszerű elemi, vagy láncolatba foglalt rendszereiben az egységugrás, vagy az egységimpulzus kezdeti ráhatás válaszfüggvényeinek, tehát az átmeneti- ill. a súly függvényeknek ismeretében a Duhamel-integrálegyenlet segítségével [2, 6, 8] bármilyen más kezdeti ráhatás válaszfüggvényeit is jellemezhetjük. Legegyszerűbb, ha a ráhatási függvényt alkalmas aproximációval megválasztott T értékek felvételével egységimpulzust közelítő véges lamellákkal részekre bontjuk, s az e részeknek megfelelő rész-válaszfüggvénye-Pk(t) Pk(t-T) p k(t-2T) Pk('3T) Pk(2T) _p k(T) A kívánt megoldás a p>. függvény diszkrét értékeire adódik. Az (50) egyenlet kiszámítása nem jelent nehézséget, mert a P, Poisson-függvény értékei táblázatokban találhatók, p 0 értékei pedig adottak. Nyilvánvaló ezek után, hogy az összetett esetek vizsgálata helyett a továbbiakban visszatérhetünk az alapesetek vizsgálatára. A [3] és [9] alapján megállapíthatjuk, hogy a (25/c) egyenlettel kifejezhető általános egyenletalakzat, mint önszabályozó, visszacsatolásos rendszer ket — a (42) egyenletek szerinti, a most az ide vonatkozó együtthatókkal szorzott különböző rendszámú Poisson-függvény eket — a lamellázásnak megfelelő időeltolódások figyelembe vételével szuperponálj uk. Legyen a ráhatási függvény p 0=p 0(<) egyenletű, amelynek értékeit továbbra is a permanens átfolyáshoz tartozó y v vízállás, ill. Q v vízhozam értékéhez viszonyított p valószínűségekkel fejezhetjük ki. Ebből következik, hogy csak a tartomány vizsgálatára szorítkozunk. A ráhatási függvény felbontása szempontjából szemlélt 0 és a kurrens ti idő közét a T-vel történt felosztás ossza i darabkára, tehát legyen U=i-T. A válaszfüggvényen vizsgálatra kerülő 0 és általános i idő közét pedig a T szerinti felosztás ossza n darabkára, vagyis legyen t n—n-T. Az átfolyásos láncolat i-adik medencéjében kapható válaszfüggvény: tá • Pk(t) = p o(0) • T - P k(í) + po(T) • T • P k(í- T) + + . . . + P o(iT).T.V ] í(t~iT)+ ...= n—1 = 2 Vo(iT)-P k(t-iT).T (48) i = 0 A p 0 értékek a függvény ábrájáról olvashatók le, a Pk értékek viszont az (5) egyenlet szerinti értelmezésű Poisson-függvények megfelelő értékei. Ha a p 0 függvény képletileg adott, a (48) egyenlet a Duhamel-integrálegyenletbe megy át a I 7—>ö határátmenet egyidejű végrehajtásával. így: t t á-Pk(0= J p 0(ti)-Tk(t-ti)-dti (49) o Szükség esetén alkalmazhatjuk még a Duhamelintegrálegyenlet ismert azonos átalakításaiból kapható egyenértékű kifejezéseit is [2, 8]. A (49) szerinti számítás azonban gyakran nehézségekbe ütközhet, így egyszerűbb visszatérni a (48) egyenletre, amelyet mátrixegyenletté is általánosíthatunk, a [8]-ban követetteket felhasználva : rp 0(t-T) i Po(t-2T) p 0(t-3T) Po(2T) Po(T) _Po(0) egyenlete is értelmezhető, ha bevezetjük a IJ jelű differenciálási-operátort [3, 7, 9], — amely mintegy a differenciálás d/dt műveleti jelével való szorzást jelképezi —- és, ha a (25/c) egyenletet jelképes ,,rendezés"-sel az önszabályozás alapegyenletével hozzuk azonos alakra: p*(í)=[i+k-Dri.p*_i(<) (5i) Ebben I az identitás (önmásoló átalakítás) operátora. Az (51)-nek megfelelő önszabályozási rendszert blokksémával is ábrázolhatjuk (4. ábra). 7 77 -Pk(T) P k(2T) Pk(3T) 0 P k(T) Pk(2T) 0 0 P k(T) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P k(t-2T) Pk(t-T) I\(t) Pk(t-3T) P k(t-2T) Pk(t-T) P k(t-4T) Pk(t — 3T) P k(t-2T) P k(T) P k(2T) P k(3T) 0 Pk(T) P k(2T) 0 0 Pk(T) 77'
