Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)
7. szám - Dr. Vágás István: Az önszabályozás szemléletének alkalmazása a hidrológiai rendszerek elemzésében
310 Hidrológiai Közlöny 1969. 7. sz. Hidrológia a területi vízgazdálkodás gyakorlatában I. Szabályozási folyamatok a hidraulikában A hidraulika egyik ismert és alapvető szabályozási berendezése a daruiida. A danaida alsó kifolyó nyílással rendelkező edény, amely a belevezetett vízhozamot meghatározott belső vízoszlop-magasság kialakításával végső soron változatlanul (identikusán) bocsátja át magán. A vízhozamokat jellemző vízoszlop-magasság meghatározott volta egyébként, mint az szintén ismeretes, vízhozammérésre is alkalmassá teszi. Számunkra azonban jelenleg az a tulajdonsága a lényeges, amely szerint a danaida önszabályozása útján, a bebocsátottnak megfelelő kifolyó vízhozamra (egyúttal az ezt jellemző belső vízoszlop magasságra) beállni képes, akár üres állapotából, akár pedig valamilyen — a vizsgált bebocsátási vízhozamtól eltérő —vízhozam szolgáltatásának helyzetéből. Ha a Qb tápláló vízhozam 1 = 0 időpontban történt, hirtelen megindítása üresen találta a danaidát, a megindítás pillanatában e „zavaró" kezdeti feltétel miatt a kifolyó vízhozam még zérus lesz, hiszen a danaidán belül nem alakulhatott ki semmilyen, vizet elfolyásra kényszerítő vízoszlop-magasság. A danaida az identikus működéstől most természetesen eltér, a tényleges kifolyó hozamokat tehát vissza kell csatolni a rendszerbe. Ez a visszacsatolás már a danaida felépítésénél fogva biztosított, hiszen az identitás megzavart volta következtében kifolyni nem tudó vízhozamok az edényben víztárolódást idéznek elő, és ezzel — a nyomómagasság kialakítása, majd folyamatos megnövelése útján — a kívánt változás elérése érdekében befolyásolják a vízkifolyásnak a danaida rendszerének válaszát jelentő Q v hozamát. Ez a szabályozásmód lényegében azonos akkor is, ha nem üres, hanem tetszőleges Qv=hQb vízhozamú állapotot tekintünk kiindulásként. Alapfeltevésünk szerint tehát az önszabályozási folyamat kezdetén a tápláló vízhozam által biztosított hatás x=Qb, ami egyébként végig állandó marad; a kifolyás vízhozama pedig az első pillanatban y 0=Q t o=0.\ Tartson ez a kezdeti állapot az infinitezimálisan rövid At időtartamon át, ami alatt a danaidában AV^Qb-At vízmennyiség tárolódhat. Ez Ah, vízoszlop-magasságot alakít ki, amely a kezdetit követő Q vi vízhozamot már távozásra kényszerítheti. A Q r l vízhozam számszerű meghatározásához azonban a danaida kifolyási törvényének megállapítása is szükséges. Egyszerűség kedvéért tekintsünk most olyan danaidát, amelynél a kifolyó víz hozama a nyomómagassággal mindenkor egyenesen arányos. A gyakorlatban ezt danaidaként működő szivárgó rendszereknél, rés-modeleknél vagy az e követelményre megszerkesztett elzáró-berendezés alkalmazásával érhetjük el. Prizmatikus, F felületű danaidában a vízzel kitöltött AV térfogat (térfogatváltozás) egyenesen arányos a Ah nyomómagassággal (nyomómagasságváltozással), így feltevésünknek megfelelően a kifolyó víz AQv liozamaval (vízhozam-valtozasaval) is. Az arányossági tényező az első esetben az F átfolyási felület, a második esetben pedig egy idődimenziójú, íj-vei jelölhető állandó. Ezekkel: AV=F-Ah^tb-AQv (6) Az üres danaida működésének első At időtartamát követően a (6) egyenlet a AV l vízmennyiségre is értelmezhető, vagyis t b-AQ v l=Q b-At (7) amiből — bevezetve a At/t b=r jelölést, és elhagyva az itt már különösebben nem lényeges A jelet — az önszabályozási folyamat első lépését jelentő kifolyó vízhozam kapható: Q^Qb-r (8) Bármely további, pl. a kezdettől számított í=i-Zlí időpontban, az önszabályozás i-edik lépésében a (7) egyenlet megfelelő alakja: tb-[Qv, i-Qv,i^=[Qb-Qv,i_ 1\-At (9) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy az (i— i)-edik és az i-edik időpont közötti vízhozam-többlet által kifolyásra kényszerített vízmennyiség-különbözet abból a vízmennyiségből keletkezik, amit a At időközben a befolyó és a ténylegesen kifolyó vízhozamok különbségéből a danaida tárolni képes. A (7) egyenlet rendezésével és az előbb bevezetett r jelöléssel: a (9)-nek egyébként i= 1 választás melletti esete volt. A (9) egyenlet Qv,i=Qb-r + Q v,i_ v(l-r) (10) Ezzel a már tárgyalt i=l eseten kívül további szabályozási lépcsőket is szemléltethetünk: Qv2=Qb-r + Q b-r-(l-r) = Qb-r-[l+(l-r)] Q v 3=Q b. r.[l + (l-r)+(l-r)*] Q v< i=Q b.r.[l+(l-r)+(l-r)*+ . .. + (l-r)*" 1] (11) A szögletes zárójelben olyan, i tagú mértani haladvány összege szerepel, amelynek első tagja 1, hányadosa pedig (1 — r). Az összeg-képlet alkalmazásával, és egyúttal r-rel egyszerűsítve: Qv,i=Qb-[l-(l-ry] (12) Az (1 — r) alapú hatvány azonban e-alapúvá tehető akkor, ha az eredeti i-kitevőt (ami itt természetesen nem a képzetes egységet jelöli) az alap természetes logaritmusával megszorozzuk. Minthogy At, tehát így r is kezdeti feltevésünknek megfelelően kis érték, helytállónak tekinthető az 1 n(l — r)— — r közelítés, amellyel a (13) egyenlet végeredményét is képeztük. Mindezekből, a (12)-be történt helyettesítéssel és az r=At/t b, valamint az i=tjAt visszaírással, majd az i-r szorzat képzésében a zJí-vel való egyszerűsítés után végeredményként a Q v=Q b.[l-e-'l'b]=-J—.Q b (14) 1 Ji összefüggést kapjuk, amelyet a (9)-bői folytonos átmenettel képzet differenciálegyenlet megoldásából is megkaphattunk volna, de, amint láttuk, a visszacsatolások (ll)-ben szemléltetett algoritmikus lépéseiből is. A (14)-ben az R=ll(l — e tl tb) szorzó tényezővel jellemezhetjük a visszacsatolási transzformációt.
