Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)
10. szám - Domokos Miklós–dr. Szász Domokos: Eloszlás függvények alkalmazása a vízkészletgazdálkodásban
Domokos M.—Szász D.: Eloszlásfüggvények Hidrológiai Közlöny 1968. 10. sz. 435 3. A tapasztalati eloszlás- és sűrűségfüggvény. A tartóssági görbe 3.1 Meghatározás Legyenek £ v | 2, a | valószínűségi változó észlelt, független értékei. A valószínűségi változó F«(x) tapasztalati (empirikus) eloszlásfüggvényének az x abszcisszához tartozó ordinátája: A magyar hidrológiai, ill. vízkészletgazdálkodási gyakorlatban a vízhozamok eloszlásának jellemzésére zömmel nem a tapasztalati eloszlásfüggvényt, hanem az ún. tartóssági görbéket alkalmazzák. A tartóssági görbének a vízkészletgazdálkodásban használatos eredeti meghatározása a következő' : Legyenek | x, | 2, . . ., |„ a | valószínűségi változó észlelt értékei. (A függetlenséget itt általában nem kívánjuk meg.) A £ valószínűségi változó d n(x) tartóssági görbéjének az x abszcisszához tartozó ordinátája: Nyilvánvaló, hogy F„(x) + d„(x)=— V 1+— Y n n <—> n es így d n(x) = 1 — F„(x) lévén, a d»(x) és az x 1 n (x) függvény között egyértelmű a kapcsolat, egymással egyenértékűen jellemzik az eloszlást . Az sem érinti ezt a megállapítást, hogy a hidrológiai és vízkészletgazdálkodási gyakorlatban a tartóssági görbét a legtöbbször nem a d»(x) alakban, hanem az x(d n) alakban értelmezik és használják. Nyilvánvaló, hogy ü- Clr? (x) függvénnyel együtt az x(d n) függvény is az F,,(x) függvénnyel egyenértékűen jellemzi az eloszlást. Elvileg közömbös, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvényt az F»(a;), a d n(:r) vagy éppen az x(d n) alakban ismerjük, vagy állítjuk elő. Bármelyik alakból a másik két alak egyszerű transzformációval egyértelműen előállítható. A továbbiakban, a valószínűségelméletben szokásos értelmezéshez alkalmazkodva, a tapasztalati eloszlásfüggvényt mindig az F, t(a;) alakban értelmezzük. Az elmondottakból azonban következik, hogy az F«(x) függvényre teendő megállapítások értelemszerűen a másik két alakra is mindig érvényesek. A tapasztalati sűrűségfüggvény 1 meghatározásához a gyakorlatban egy, a | valószínűségi változó értelmezési tartományát tartalmazó [x', x"] tartományt (ahol X sinin éS X ^^ ^max) az Xj osztópontokkal r egyenlő részre 2 osztunk: X' = X 0 < X x < X 2 < . . . < Xj_! < Xj < ... < 1 <X r = X"; x" — x' Xj-Xj~i = d = -—, j=l, 2,- • •, r 1 A tapasztalati sűrűségfüggvénynek a matematikai statisztikában szokásos másik elnevezése: sűrűségi hisztogram. - A tapasztalati sűrűségfüggvény nem egyenlőközű felosztásra is értelmezhető. Ha | 1, | 2, . . ., i„ a | valószínűségi változó észlelt értékei, akkor az f n(x) tapasztalati (empirikus) sűrűségfüggvénynek az x abszcisszához tartozó ordinátája: f"^ = wcí ha x,_ 1^x<x,A meghatározásból következik, hogy a tapasztalati sűrűségfüggvény alatti terület, azaz: oo x" r J f n(x)dx= J' f n(x)dx = ^l£ d 2 1 = —X J=1 Xj_ 1^(i<Xj nd , ^ ,, nd vagyis a tapasztalati sűrűségfüggvény rendelkezik az elméleti sűrűségfüggvények egy jellemző tulajdonságával. (A másik ilyen tulajdonság, a függvény nem negatív volta is nyilvánvalóan teljesül.) ( 0) A hidrológiai gyakorlatban is gyakran alkalmazott fn (x) relatív gyakorisági hisztogram ordinátája a tapasztalati sűrűségfüggvény megfelelő ordinátájának a d-szerese, vagyis S I és így j í n{x)dx = d. oo A tapasztalati sűrűségfüggvényt egyrészt a | 2, . . ., észlelési adatok, másrészt (az értelmezési tartomány gyakran szokásos egyenlőközű felosztása esetén) a d távolság határozza meg: ugyanazon £ v észlelési adatok tapasztalati sűrűségfüggvényének alakja d különböző értékeire más és más lesz. Emiatt nem állíthatjuk — mint ahogy az elméleti függvények esetében tehettük — hogy az f„(x) függvény a megfelelő F,,(x) függvény differenciálgörbéje lenne. Az 1. ábrán a Duna nagymarosi szelvényében az 1901-től 1966-ig eltelt 66 év augusztusában levonult napi vízhozamok (2046 adat) és havi középvízhozamok (66 adat) tapasztalati eloszlás- és sűrűségfüggvényeit rajzoltuk meg. A függvényeket 50 m 3/s-os vízhozamosztálvközök alapulvételével állítottuk elő. Ahelyett tehát, hogy szigorúan a tapasztalati eloszlásfüggvény fenti meghatározását alkalmaztuk volna, megszámoltuk az egyes osztályközökbe eső adatokat, és a [(?;-!, Qi] osztályközbe (Qi —Qi-x = 50 m 3/s) eső ki darab különböző adatot ki darab értékű adattal 2 helyettesítettük. Erre a közelítésre elsősorban a napi vízhozamok eloszlásfüggvényének (la. ábra) munkaigényesség csökkentése érdekében volt szükség: így ugyanis a feldolgozást 2046 adat helyett mintegy 100 helyettesítő értékre kellett elvégezni. (Ha a feldolgozást matematikai gép végzi, természetesen gyakorlati korlátja sincs az eredeti meghatározás alkalmazásának.) A havi középvíz-
