Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)

5. szám - Csoma János: Különböző valószínűségű vízhozamok és vízállások meghatározása

226 Hidrológiai Közlöny 1968. 5. sz. Csorna J.: Különböző valószínűségű vízhozamok. közelítse meg a p= 100% és p — 0°/

o határértéket, minél hosszabb az adatsor, de azt véges n érték mellett se érhesse el. Megemlítjük, hogy a tapasztalati valószínűség számítására alkalmaznak az előző képlethez hasonló olyan összefüggést is, ahol a számlálóban levő tagból vonnak le 0,5-öt, vagy a nevezőben levő + 1 helyett szerepel más érték. Tekintsünk el most a bemutatott képlet számlálójában, illetve nevezőjében szereplő állandóktól és az irodalomban ezzel kapcsolatban folyó vitáktól. Ettől függetlenül is megállapítható, hogy az összefüggés tulajdonképpen a relatív gyakoriságot adja. Úgynevezett „tapasztalati valószínűség" ugyanis nincs, ilyet a matematikai statisztika nem ismer és könnyen bizonyítható, hogy alkalmazása, a fogalom használata is súlyos hibákra vezethet. Gondoljuk meg pl., hogy valamely vízfolyáson — a Dunán — 5 mércét telepítettek. Az elsőt 1904-ben, a másodikat 1914-ben és így tovább, az utolsót 1944-ben. Vizsgáljuk meg a „tapasztalati valószínűség" képlete szerint, milyen átlagos visszatérési idővel jelentkezne az egyes mércék vízhozamadataiból az 1954. évi árvíz, ami a vizsgált időszakon belül tudvalevőleg a legnagyobb jégmentes árvíz volt. Az 50 éves idősorral rendelkező mércénél a „tapasztalati valószínűség" 2%-ra, a 40 évesnél 2,5%-ra, a 30 évesnél 3,3%-ra, a 20 évesnél 5,0%-ra, a 10 évesnél 10%-ra adódik. Ez azt jelentené, hogy a leghosszabb adatsorral — 50 évvel — rendelkező szelvényben az árvíz átlagos visszatérési ideje 50 év, a 10 éves adatsorral rendelkező szelvényben 10 év. Nyilvánvaló, hogy az árvíz visszatérési ideje nem függhet a vízmércék telepítésének idejétől, az a visszatérési időt egyáltalán nem befolyásolja. Nem lehet tehát tapasztalati valószínűségről beszélni — amit a hidrológiában széleskörben alkalmaznak — tudomásul kell venni, hogy az nem más, mint a múltban észlelt értékekből levezetett relatív gyakoriság. * A hazai hidrológiai gyakorlatban széles körben alkalmazzák grafikus megoldáshoz a Hazen-skálát. A különböző valószínűséggel várható vízhozamok becslése lényegében úgy történik, hogy meghatározzák az n elemű adatsor egyes elemeinek relatív gyakoriságát, ezeket az értékeket felrakják a Hazew-skálára és kiegyenlítik egyenessel a pontokat. A pontok közé húzott kiegyenlítő egyenes meghoszszabbításával egyben az extrapolálást is elvégzik. Ezt az eljárást azonban csak szabályos eloszlásnál és közelítésként lehet használni, tekintettel arra, hogy csak a szabályos eloszlás ad a Hazen-skálán egyenest. A vízhozamok eloszlása azonban a legritkább esetben szabályos, tehát a pontokat nem lehet egyenessel kiegyenlíteni. Ennek ellenére a gyakorlatban ezt a módszert általánosan használják úgy is, hogy a pontok közé valamilyen kiegyenlítő görbét húznak és extrapolálnak. Foglalkozott a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete is a normális eloszlás grafikus megoldásával [8, 263. oldal]. Véleményünk szerint azonban az általuk összeállított normális vagy Crímss-skála akkor használható, ha csupán tájékozódni akarunk arról, hogy egy tapasztalati úton kapott empirikus eloszlás normális eloszlással közelíthető-e? Ha az Intézet által szerkesztett Gauss papíroson a vízszintes skálán egyenletes beosztás, a függőleges skálán a normális eloszlásfüggvény inverz függvényének megfelelő skálabeosztás van, akkor bármely normális eloszlás függvényképe a Gauss papíroson egy egyenes vonal. Ha már most egy empirikus eloszlásfüggvény értékeit a Gauss papírosra felmérjük és egyenest, vagy az egyenestől csak kevéssé eltérő vonalat kapunk, úgy ez azt jelenti, hogy a vizsgált eloszlásfüggvény közelítőleg normálisnak tekinthető. Ez a módszer azonban csak első tájékoztatásra szolgál és -— mint azt Kolmogorov tétele igazolja [8., 596. oldal] —- nem pótolja a pontos számításokat. Megjegyezzük, hogy bármely eloszlásra lehet olyan skálát készíteni, amelyen az eloszlás egyenessel ábrázolható. A skálák elkészítéséhez azonban meg kell határozni az eloszlásfüggvény típusát, az eloszlásfüggvényt jellemző paramétereket, magát az eloszlásfüggvényt. A skála használatához pedig minden esetben meg kell határozni a rendelkezésünkre álló adatok (a minta) alapján a jellemző paramétereket ahhoz, hogy a megfelelő skálát kiválaszthassuk. Tekintettel arra, hogy végtelen sok eloszlásfüggvény alkalmazása jöhet szóba, nem látszik célszerűnek végtelen sok skálát készíteni a grafikus megoldásokhoz. Különösen nem célszerű a grafikus megoldást elősegítő skálák elkészítése akkor, ha meggondoljuk, hogy a jellemző paraméterek meghatározása után az elméleti eloszlásfüggvény szabatos számítása alig jelent több munkát, mintha a grafikus megoldás útját választottuk volna. Még egy szempont szól a grafikus megoldások ellen. Az empirikus eloszlások elméleti eloszlásfüggvénnyel való közelítése mindaddig csak hipotézis, amíg a közelítés megbízhatóságát illeszkedésvizsgálattal nem ellenőriztük. Az illeszkedésvizsgálatot pedig grafikus megoldás esetén elvégezni nem lehet! * A különböző valószínűségű vízhozamok meghatározására alkalmazták a hazai hidrológiai gyakorlatban Kreps módszerét is [4]. Kreps abból az elgondolásból indult ki, hogy az évi legnagyobb jégmentes vízhozamok értékeinek kiválasztásánál, majd később a statisztikai feldolgozás során figyelmen kívül hagynak számos jelentős árvizet, ami kisebb ugyan, mint az adott év legnagyobb vízhozama, de esetleg nagyobb, mint más évek évi legnagyobb vízhozama. Javasolta, hogy az árvizi vízhozamok eloszlásának meghatározásánál ne csak az évi legnagyobb vízhozamokat, hanem egy bizonyos értéket meghaladó összes tetőző vízhozamot vegyék figyelembe. A feldolgozás során valószínűségi skálákkal határozta meg a különböző valószínűségű vízhozamokat, illetve az azokat jellemző eloszlásgörbét. Ennél a módszernél — még abban az esetben is, ha eltekintünk a grafikus feldolgozás bizonytalanságaitól — végsősoron arra kapunk feleletet, hogy egy bizonyos értéket meghaladó összes tetőző vízhozamok közül a kiválasztott vízhozamnál na-