Hidrológiai Közlöny 1965 (45. évfolyam)

8. szám - Vágás István: Árhullámok entrópia-elmélete

Vágás 1.: Árhullámok entrópia-elmélete Hidrológiai Közlöny 1965. 8. sz. 34Í) vízhozamú, téglalapalakú árhullám, amely levonulása közben alakját folyamatosan változtatja (3. ábra). Az eredeti alapárhullámkép ennéfogva egyre kevésbé határozza meg a levonulás során érintett szelvények árhullámképeit : permanensnek tekinthető a

e — \ viszonylagos vízhozamú tetőző szakasza minduntalan szűkül, míg az egyik, az ún. „kritikus" szelvényben egészen el nem fogy. Eddig a szelvényig T < T volt, ami azt jelenti, hogy a a

e = 1 értékű tetőző vízhozam kialakulásához szükséges r bekapcsolódási időtartam egyelőre még kisebb a T idők van tumnál. A kritikus szelvénytől kezdődően a viszonylagos vízhozamok tetőző értékei (o

m) csökkenni kezdenek : az árhullám ellapul. Ez a folyamat egyre jobban kidomborítja a folytonosan átalakuló árhullámképeknek a permanens viszonyokhoz mérten folytonosan növekvő határozatlanságát, szükségképpen : növekvő entrópiáját. 1. Az entrópia értékváltozásai a T < T esetekben A lineáris árhullám kép három szakaszra bontható (3. ábra). Az első és a harmadik szakasz entrópiája ugyanakkora, vagyis S

1 = S

3, a második szakaszé pedig : S

2 = 0. Elegendő tehát az első szakasz entrópiáját külön kiszámítani. Itt a koordináta-rendszer alkalmas transzformációjával elérhető, hogy o(t) = — legyen. Ezt a (14)egyenr letbe helyettesítve (3. ábra) : T S^ — — • f Mn —• át ( In t 1 In T l 2 4 2 K-iA teljes entrópia : S = S

1 + S

2 + S

3 = 2.S

1 = ^. (16) Határesetben, amennyiben r = T = 1, az entrópia értéke 1/2. 2. Az entrópia értékváltozásai a T >> T esetekben Az árhullámképet most is három szakaszra bonthatjuk (3. ábra) = S

3, de S

2 0. A koordinátarendszer alkalmas választásával az 1. szakaszon: o(t)——. Azonban [15]-ből és a x 3. ábráról láthatóan (hasonló háromszögekből) : Om =T OE T azaz a

m = 1 /T, ha a

e = 108 2"= 1. így a(t) = o

m • t í = — a

m- t-lna

m-t-dt = s, <y

m rj_ 2*12 A 2. szakaszon : a(t) = o

m = const., ennélfogva : r S

2 = — a

m • In o

m • f dt i = — Om-1 n a

m-(T— 1) = ==—o

m-(— l) -In a

m = (a

m—l).lna

m (18) V Om ) A teljes entrópia : S = S

1 + S

2 + S

3=2.S

1 + S

2 = O

m-ln + -f (<r

m-In Om — In a

m) = In o

m (19) Határesetben, ha t = T = 1 ; a

m = a

e = 1, és így 8 = 1/2. Tekintve, hogy cr

m -< 1, a — In o

m előjelet vált, s így az tulajdonképpen entrópianövelő egyenlettag. A (19) egyenlet szerint az árhullám entrópiája a viszonylagos vízhozamok tetőző értékeivel valamilyen bonyolultabb, fordított arányra emlékeztető módon függ össze. A (16) egyenletből látható, hogy a r < T esetekben az entrópia értékét az árhullám T bekapcsolódási idejének hossza, tehát az árhullám időbeli elnyúlását jellemző tényező határozta meg. A T > T esetekben az entrópiának a tetőző vízhozamokkal való összefüggését azonban még egy kissé át kell alakítani ahhoz, hogy szorosabb kapcsolatokat is találjunk ar<7

1ésaT>í' esetek között. Állítjuk, hogy a (19) egyenlet — közelítésben — a következőképpen alakítható át: 2^ (20

) Állításunk igazolására vegyük tekintetbe, hogy: In a

m = (a

m — 1) — (21) 2 ' 3 (ha 0< o

m< 1) Másrészről viszont szintén sorbafejtéssel kimutathatjuk : ( o

m —) = V o

m ) = 2 • f (a

m — 1) (a

mOm -l)

2 (<Tm— l)

3 (22) Ha elegendő a sorbafejtések első két tagjára szorítkoznunk : ( o

m— —-) = 2-In V Orn J (23) (17) A In o

m értéket kifejezve és azt a (19) egyenletbe helyettesítve, ebből a (20) egyenlet tényleg kiadódik, így az helyes az adott közelítés mellett A 3. ábráról láthatóan a T > T esetekben : o

m — = 1 /

T = tg a. A r < T esetekben — bár ott nincs o

m, az 1/T = tg A egyenlőség szintén fennáll. így minden esetben : r = ctg a. Most már akár a (16), akár a (20) egyenletből felírhatjuk vizsgálatunk