Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Szigyártó, Z.: A turbulencia statisztikai elméletének alapjai

Szí gyártó Z.: A turbulencia statisztikai elmélete Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. 67 \ \ \ \ \ Mty 7 / / 7 i / i ' J ..Y ; P //. ^ /mm J V' , \ -\ S

N Á\ \ nak a sűrűségfüggvénye

4 az M(ü) = 0 egyenlet figyelembevételével : g(y) = — í V ||D|| (2n) — v

y,

D P & (3) ahol y sebesség-dimenziójú vektormennyiség, II D II a (°~n ^12 °"i3 o"„ cr

0

0 cr. 23 I) = VO"31 c

r32 °"SS/ úgynevezett szórástenzor determinánsa

5 es y • 1. ábra. A véletlen-jellegű ingadozást végző sebességvektor komponensei 0m. 1. KoMnonenmu CKopocmnoio eenmopa c u3MeHeHUHMU cAyvaüHoeo xapaicmepa Fig. 1. Gomponents of velocity vector performing random fluctuations várható értéke

2 M(v) és jelöljük a várható érték körüli, most már 0 középértékű ingadozást v-vel. így a pillanatnyi sebesség felírható a v = M(v) + l (1) alakban. Vagy komponensekre felbontva : V

í = M(V

X) + v

1

} v

2 = M(W

2) + v

2, v

3 = M(V

3) + v

s (la) és természetesen M(») = 0 (2) miatt M(

V

l) = 0, M(v

2) = 0, M(r

a) = 0 (2a) Az eddig végzett kísérletek azt bizonyítják, hogy az v komponensei normális eloszlásúak, s a turbulencia statisztikus jelensége leírható egy úgynevezett háromdimenziós normális eloszlással

3. Ennek a háromdimenziós normális eloszlás2 A „várható érték" kifejezés alatt a következőkben azt az értéket értjük, mely bizonyos értelemben az észlelt értékek középértékének, számtani átlagának, az ,,empirikus középérték"-nek határértékeként tekinthető abban az esetben, ha az észlelt értékek száma a végtelen felé tart. (Szabatos fogalmazásban : a várható érték az empirikus középérték stoehasztikus határértéke abban az esetben, ha az azonos körülmények között észlelt értékek száma a végtelen felé tart.) A várható értéket a valószínűségszámításban a M jellel jjelölik, s utána zárójelben feltüntetik azt a valószínűségi változót, melynek várható értékéről éppen szó van. 3 Egy valószínűségi változó ,,eloszlás"-a alatt a valószínűségi változó lehetséges értékeinek, s azokhoz tartozó valószínűségeknek az összességét értik, s ezt az eloszlást általában függvényalakban adják meg. A „háromdimenziós normális eloszlás" a geodéziai hibaszámításoknál széles körben alkalmazott egyszerű, egydimenziós normális, vagy Oauss-ié\e eloszlás térbeli általánosítása. A háromdimenziós normális eloszlásnak egyik sajátsága, hogy annak a valószínűségi vektor változónak, melynek eloszlását ez az eloszlásfüggvény jellemzi, bármelyik irányú vetülete közönséges Gawss-féle eloszlás. vagyis °"ll °"l2 °"13 D || = cr

2

1 cr

2

2 cr

2

3 0"31 <

r32 ^33 CTij — M(j»íf

;), a. = M(i>.

2) = cr.

2, a. = o. a.a 11 V L ' l 1 l] l I (4) (5) (6) ahol : ári a n komponens szórásncgyzetét, a-i annak szórását, q.. a ví és Vj komponensek korrelációs tényezőjét jelöli. I) 1 a D tenzor reciproka, vagyis D-l = —RR~ 'n £>12 (21 £>22 DJ (?) '31 D

3

2 DJ D és Dn a D tenzor determinánsánál az i-ik sor és ?-ik oszlop kereszteződéséhez tartozó előjeles aldetermináns ; végül a kitevőben levő tenzorszorzat y i) •y = í 3 3 D || 2 1

1 t=l 3 = 1 Vi-yf (8) Látható, hogy cra = o-ji miatt a D tenzor tükrös. Ebből azonban következik, hogy mindig található három olyan egymásra merőleges irány — a szórástenzor g

l

5 g

2, g

3 saját-vektorainak iránya — melyeket koordinátatengelyként felvéve, a főátlón kívüli elemek 0-vá válnak. Ebben a koordinátarendszerben tehát cra = 0 kapcsán Qíj = 0; vagyis a véletlen-jellegű ingadozást végző y sebességvektor koordináta tengely irányú komponensei függetlenek egymástól. A szórástenzor tükrösségének másik következménye, hogy a saját-vektorok irányába mutató koordinátarendszernél a sebesség tengelyirányú vetületeinek szórásnégyzete egyenlő a szórásten1 A „sűrűségfüggvény" függő változója megadja azt, hogy a független változó, mint vektor által megadott pont egységnyi környezetébe milyen valószínűséggel esik a vizsgált valószínűségi változó (jelen esetben a sebességvektor végpontja). 5 A tanulmány a vektor- és tenzoranalízis fogalmainak ismertetésére nem tér ki. Ezekkel kapcsolatban az érdeklődő olvasónak sorrendben a következő magyar nyelvű szakirodalom ajánlható : Budó A. : Mechanika, 335—3C0. o. Tankönyvkiadó, Budapest, 1951. Szentmártoni T. : Vektor- ós tenzorszámítás. A Mérnöki Továbbképző Intézet kiadványai. Matematika 2. sz. Egyetemi Nyomda, Budapest, 1946.