Hidrológiai Közlöny 1958 (38. évfolyam)

3. szám - Ivicsics Lajos: Tapasztalati egyenletek meghatározása

22Jf Hidrológiai Közlöny 1958. 3. sz. Ivicsics L.: Tapasztalati egyenletek meghatározása A (41) egyenlet állandói : b Vo — Ay Ay A

2y A

2y A

2y ~Yh

2 (42) h 2 h'

1 _ A'

y '' ~ 2 h

2 2. A mérési eredményeknek megfelelő pontokat koordináta-rendszerben ábrázoljuk, megrajzoljuk a pontok kiegyenlítő' vonalát, ennek alapján táblázatosan összeállítjuk a h = const x értékeknek megfelelő y értékeket (2. táblázat), valamint kiszámítjuk a Ay, A

2y stb. értékeit. A (42) egyenlet jobboldalán szereplő mennyiségek ismeretében a keresett a, b, c állandókat kiszámíthatjuk. Például a korábbiakban megállapítottuk, hogy a 12. táblázatban szereplő x és y értékek közötti kapcsolat y a + bx + cx

2 (20) es c egyenlettel fejezhető ki. Kiszámítandók az a, b állandók. A 2. táblázat alapján Vo = 1.32 x

0 = 0,20 = 0,30 Ay = 0,35 A

2y = 0,0278 (a A

2y oszlop értékeinek középértéke) h = 0,10 1,320,35 0,0278 0,20 + ...

. 0,20-0,30 0,10 a = 0,703 b = 2,805 c = 1,39 0,10 0,35 0,0278 ~ 2.0,01 2-0,01 0,20 0,0278 T-TTöT 0,30 0,0278 Kezdő (£

0>2/o) értékpárul nemcsak az értéksorozat első, hanem bármely tagját is vehetjük. Minthogy az y értékeknek a kiegyenlítő görbéről való leolvasásánál bizonyos hibát követünk el, különböző (x

0,y

0) kiindulási értékek felvétele esetén az a, b és c állandókra váltakozó értékeket kapunk. Célszerű, ha végeredményül az állandók különböző értékeinek középértékét fogadjuk el. Hátránya az ismertetett, a Newton-féle egyenletet alapul vevő interpolációs módszernek az, hogy csupán abban az esetben alkalmazható, ha az egyenlet y = a + bx + cx

2 + . .. + px

n (43) alakú. 7. A nulla-eltérések módszere [4]. Amikor a mérési eredményeknek megfelelő pontok kiegyenlítő vonalát megrajzoljuk, arra törekszünk, hogy az e értékek négyzetének összege a legkisebb legyen (6. ábra). Lényegében tehát a legkisebb négyzetek módszerének alapfeltételét igyekszünk kielégíteni. A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazása — néhány egyszerűbb esettől eltekintve — eléggé bonyolult számítási munkát kíván. Bizonyos esetekben — a bonyolult számítások elkerülése céljából — a legkisebb négyzetek módszerének alapfeltételénél ogyszerűbb feltétel kielégítésével is beérjük. Ugyanis az e értékek között pozitív ós negatív előjelűek vegyesen szerepelnek. Feltételezhetjük, hogy az lesz a legmegfelelőbb kiegyenlítő görbe, amelyre nézve érvényes a Ee = 0 (44) egyenlet. Ennek a feltételnek alapján a kiegyenlítő görbe egyenletének általános alakjában (amelyet a fentebbiekben ismertetett módszerek valamelyikével fi. ábra Fig. fi Abb. fi előzőleg már meghatároztunk) szereplő állandók kiszámítása a következőképpen történik : 1. Kiszámítjuk az e,, e

2, e

3, ... e

n értékeket az Vi), 0*2. y

2), [x

3, y

3) • • • (

xn, y

n) értékpároknak megfelelően = / 0»i) — V-Í H = / (^2) — 2/2 (45) En = / (X

n) — y

n 2. Ha a kiszámítandó ismeretlenek száma m, az n számú e értéket m, lehetőleg egyenlő számú tagot tartalmazó csoportra bontjuk. Minthogy n rendszerint sokkal nagyobb, mint m, az egyes csoportok tagjainak száma viszonylag nagy lesz. 3. Feltételezzük, hogy a Le = 0 (44) feltétel minden egyes csoportra vonatkozóan érvényes. A (44) egyenlet figyelembevételével m számú egyenletet, határozhatunk meg, amelyeknek segítségével az ismeretlen állandók (mivel számuk szintén m) kiszámíthatók. Minthogy az n számú, a mérési eredmények alapján felírt (45) egyenletet különféleképpen lehet m számú csoportba sorolni, a csoportosítás módjától függően az állandókra különböző értékek adódnak. Példaképpen számítsuk ki a nulla-eltérések módszerével annak az egyenletnek az állandóit, amelyik kifejezi a 2. táblázat második és harmadik oszlopában feltüntetett x és y mennyiségek közötti kapcsolatot. Feltételezzük, hogy az említett összefüggés általános alakját előzőleg már meghatároztuk és ez : y = a -f- bx + cx

2 (Ennek az egyenletnek az állandóit az interpolációs módszerrel az előbbiekben közelítőleg már kiszámítottuk. Az ott kapott a, b és c értékek, mint már említettük, végeredménynek nem tekinthetők, minthogy megbízható értékeket csupán több különböző x

0 y

0 értókpár alapulvételével számított állandók középértékének kiszámításával kaphatunk.) Számítjuk az e értékeket : = a + 0,20 b + 0,04 c — 1,32 = a + 0,30 b + 0,09 c — 1,67 ej = a + 0,40 b + 0,16 c — 2,03 e

)

8 + 1,90 6 + 3,61c— 11,0 Minthogy n — 18 m = 3 az e értékeket három hattagú csoportra bontjuk. Alkalmazva a 12 V 18 H-X i= 13 = 0 feltételt, 6a+ 2,70 6+ 1,39 c = 13,84 6 a + 6,30 6 + 6,79 c = 31,36 6 a + 9,90 b + 16,51 0 = 54,94