Hidrológiai Közlöny 1957 (37. évfolyam)

4. szám - Szigyártó Zoltán: A hidrológiai események visszatérési ideje

3JfIf Hidrológiai Közlöny 37. évf. 1957. 4. sz. HIDROLOGIA A szerző az évenként csupán egyszer előforduló jelenségek visszatérési idejével foglalkozik. A valószínűségszámítás szabatos gondolat menetét alkalmazva, megadja a visszatérési idő hosszának eloszlásfüggvényét. A hidrológiai események visszatérési ideje S Z I G Y Á Ii, T Ő ZOITÁH A hidrológia területén igen sok olyan fizikai folyamattal, jelenséggel találkozunk, amely minden évben csupán egyszer jelentkezik. Például ilyen az év egy meghatározott napján, vagy az egész év folyamán leeső csapadék. Ilyen egy vízfolyás valamelyik szelvényében az év meghatározott időpontjában jelentkező vízállás, vízhozam ; vagy meghatározott naptári időpontok között a szelvényen átszállított vízmennyiség. A felsorolást szinte végnélkül lehetne folytatni. Ezeknél a jelenségeknél az ok és okozati összefüggések általában meglehetősen tisztázatlanok. így egyelőre még azt sem lehet megállapítani, hogy a következő évben milyen értékkel jelentkeznek majd. Távolabbi időpontokra vonatkozó előrejelzésekkel természetesen még inkább céltalan a kísérletezés. A gazdaságossági számításoknál kénytelenek vagyunk emiatt a matematikai statisztika módszereihez folyamodni. Le kell tehát mondanunk arról, hogy meghatározzuk a jelenség által a következő években felvett értékeket, s meg kell elégednünk annak a megállapításával, hogy az egymást követő évek során, a bekövetkezés sorrendjére tekintet nélkül, mi módon oszlanak el a jelenség bekövetkezésére jellemző számértékek. Ezeknek a vizsgálatoknak az eredményeként — bizonyos pontossággal — meg tudjuk tehát mondani azt, hogy milyen valószínűséggel esik a jelenség által felvett érték valamely tetszőleges, általunk felvett értékközbe. Vagy másképpen kifejezve : meg tudjuk határozni azt, hogy igen sok megfigyelési évet figyelembe véve azok hányad részében következik be a vizsgált esemény. Felmerül azonban az a kérdés, hogy nem lehetne-e a valószínűségszámítás segítségével legalább arra támpontot kapni, hogyha már egyszer beleesett a vizsgált érték a kérdéses osztályközbe ; úgy hány észlelés, vagyis hány év múlva fog ismét oda kerülni. Más szóval: a már ismert adatok alapján meg szeretnénk határozni a visszatérési idő hosszának az eloszlását. A visszatérési idő hosszának eloszlásfüggvénye

1 Egy tetszőlegesen kiragadott évben a mi szempontunkból nyilván csak két esemény lehetséges : vagy beleesik az észlelt érték a felvett értékközbe, vagy nem. Jelöljük ezt a két eseményt nagy latin betűkkel. Jelents^ tehát A azt, hogy a vizsgált esemény bekövetkezik, s A ennek 1 A keresett „eloszlásfüggvény" függő változója megadja annak a valószínűségét, hogy a visszatérési idő milyen valószínűséggel kisebb, a független változó értékénél. ellentettjét, vagyis azt, hogy nem következik be. Legyen továbbá az A valószínűsége : 1' (A) = p, és az A valószínűsége : 1' (Ä) = <?• A p é

sag azonban nem vehet fel tetszőleges érteket. Közöttük összefüggés van. A valószínűségszámítás megfelelő tétele értelmében ugyanis, minthogy az A és az A közül az egyik okvetlenül, s a kettő együtt sohasem következik be, a valószínűségük összege egyei kell adjon : I'M) + HD = 1. P (A) ±1 — V(A) 1 VAmi most már az A esemény visszatérési idejét illeti : nyilvánvaló, hogy az, egyszeri bekövetkezése után, ismét bekövetkezhetik már az azt követő első évben is. Nincs azonban annak sem akadálya, hogy újból csak a második, harmadik, vagy akárhányadik évben jelentkezzék. Ahogy mondani szoktuk : az az év, amikor az A esemény újból bekövetkezik a véletlentől függ. Ha már most az A újbóli jelentkezését — mint eseményt — azzal a számmal jellemezzük, ahányadik évben az bekövetkezik, úgy ezzel a visszatérési idő minden lehetőségéhez hozzárendeltük azt a pozitív számot, amely egyúttal a visszatérési idő hosszát is megadja. Jelöljük a továbbiakban ezt a pozitív számot f-vel. Az tehát, hogy adott esetben a f éppen milyen mértéket vesz fel, a véletlentől függ. Megállapodásunkkal végeredményül tehát egy olyan valószínűségi változót értelmeztünk, amely bármely pozitív számot felvehet. A következőkben számítsuk ki ennek a valószínűségi változónak egyes értékeihez tartozó valószínűségeket, s a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Annak a valószínűsége, hogy az A esemény újból már a következő első évben előfordul (£ = 1) a valószínűség értelmezése szerint p (£ = 1) = p (A). A továbbiak kedvéért tüntessük azonban azt is fel, hogy itt az A esemény első évi bekövetkezéséről van szó. így: P (f = 1) = P (A) = P (Ay). Egy évvel tovább menve: annak a valószínűsége, hogy az A esemény újból csupán a második évben jelentkezik ; egyenlő annak a valószínűségével, hogy az az első évben nem fordul elő, amíg a második évben jelentkezik. Vagyis, hogy az első évben At, a második évben A

2 egymás után bekövetkezik.