Hidrológiai Közlöny 1953 (33. évfolyam)

11-12. szám - Karádi Gábor: A lebegtetett hordalékmozgás kérdéséről

Hidrológiai Közlöny. 33. évf. 1953. 11—12. sz. Karádi G.: Lebegtetett hordalékmozgá.S felület egységnormálisát célszerű felvenni, mivel az jellemző a felület helyzetére, a tenzort pedig jelöljük T-vel (a tenzor szerkezete egyelőre nem érdekel bennünket). így tehát a nyúlóssági feszültségek impulzusa a folyadékfázisra : dí f (1 — /S) nTdF, F a szilárd fázisra pedig : d t f finTdF. F Miután az összes ható erők impulzusát felírtuk, meg kell állapítanunk a mozgásmennyiség megváltozását ugyanerre a dí időtartamra. A mozgásmennyiség-változás a folyadékfázisra : dt J JL[

e(i—c) v] dv és a szilárd fázisra : d díj — (

Q

hCu) dV Ha a működő erők potenciálosak, akkor ezt az egyenletet a következő alakban írhatjuk fel : ~[e(i—C)v + e,Cu] + + v Hí? (1-<?) + <?/?]« + ?}- V

T = °- (A) Ez az egyenlet a hordalékos áramlás dinamikai egyensúlyát fejezi ki. Ezenkívül szükségünk van még a folytonossági egyenletre, mely a folyadékfázisra : e (i —C) + div g (i —C) v = o, (B) a szilárd fázisra pedig : — Q

hC + div Q

hCu =0. ot (C) (v a folyadék, u pedig a szilárd fázis sebességvektora). A ható erők impulzusait a mozgásmennyiség változásokkal egyenlővé téve : dí j ^[£?(l-C)v]dF + d< J ^(o,Cu)clF = V V = dí J e (1 — C) PdF + dí J g*CPdF + v v + dí J — pndF + d íj nTdF. F F A felületi integrálokról Gauss—Osztrogradszkij tétele segítségével térhetünk át a térintegrálra : dí J — pndF = dt J — V 7

)d

V > F V dí J nTd F = d íj vTdF. F V Ezeket az értékeket az előző egyenletbe helyettesítve, összevonva és egyszerűsítve : dí J{^[é?U— C)v + e

ACu]v - [

e (1 - C) + QhC] P + VP — V

T} d

V = Mivel a F térfogatot teljesen önkényesen vettük fel, ez az egyenlőség akkor és csakis akkor lehet érvényben, ha az integráljel alatti rész zérussal egyenlő : ^ Cí? (1 — C) v + e

íCu] — [é (1 —0) + QhC] P + + S/V— vT = 0. Az A, B, C egyenleteket tekinthetjük a hordalékos áramlás általános alapegyenleteinek. Ezekben az egyenletekben, mint látjuk, két sebesség szerepel, a folyadékfázis v sebessége és a szilárd fázis u sebessége. Ha a szemcsék kicsinyek, tehát tehetetlenségük is elhanyagolható, akkor feltételezhetjük, hogy a szilárd fázis sebessége megegyezik a folyadékfázis sebességével, illetve a függőleges irányú v

y sebességét a szemcse ülepedési sebessége módosítja : Vx == U

x Vy =Uy + a Vz = U

z Ezt az összefüggést vektoros alakban ígv írhatjuk fel: v = u + a j ahol j az y tengelyirányú (függőleges) egységvektor. Ezt a feltevést alkalmazva, az A, B és C egyenleteinket más alakban állíthatjuk elő (a mozgásmennyiség teljes változását az ismert módon lokális és konvektív részre alakítva át) : |[<? (1 —C) v + Q

hC (v—taj)] + (v

v)e (1 -C)y+ + [(V — fflj) y] QhC (v— ©j) + + V{Me(l— C) + QhC]u + V}— VT = 0 (a) e (1 — C) + div Q (1 —C) v = 0, (b) g — QhC + div QhC (v — Ojj) = 0. (c) Ól A továbbiakban a gyakorlat szempontjából fontos szabadfelszínű permanens egyenesvonalu egyenletes síkáramlással foglalkozunk. Ebben az esetben (a) egyenletünk a következő lesz : JL[Q(l-C)y + e

hC(v— oJ)] + + (v

v) 6 (1 — O) V + [(V— aj) y] Q

hC (v— oj) + + Q (1 — C) + QhCgi — V T = 0, mivel V{lQ(l-C) + Q

hC]gy + p} =[e(l—C)± + Q

hC]gi és u = gy Ez az egyenlet a pülanatnyi sebesség, illetve töménység értékeket tartalmazza. Ha hosszabb