Észak-Magyarország, 1994. május (50. évfolyam, 102-126. szám)

1994-05-18 / 116. szám

1994» Május 18., Szerda

Érettségi Tételek - Hirdetés

ÉSZAK-Magyarország 13

Matematika érettségi feladatok megoldása — ’94

Gimnázium

585. írja fel a következő egyenlet valós megoldásait!

x 2x-1

2 —3~

r +

3x-r

így a keresett EjE2 szakasz:

E jE2 = 0 jK = KO2 ctg 16,5’ = 5,40 cm.

Mivel ,----------0j0

2 Aj 5,42+l,62 = 5,63 < r + R, ezért a két kör metszi egymást.

aj = 103; an = 498 = 103 + (n-l)5, azaz n = 80.

így

S = 1^498..8o = 24040

8 pont

14 pont

3392. Határozza meg azon körök egyenletét, amelyek mindkét koordinátatengelyt érintik, és átmennek az (1;2) koordinátájú ponton! Mekkora területű

461. Határozza meg a következő kifejezés pontos értékét! Ig4 + lg sin30’+lg tg30’+lg sináO’

Megoldás:

háromszöget zár be a tengelyekkel a két kör metszéspontjain átmenő egyeMegoldás:

Az ismert értékeket beírva az összeg a logaritmus azonosságai miatt:

3x-2(2x-l) -----g----2

x+3(3x-l) ------6----2

M

egoldás:

3x-2(2x-l)

2x+3(3x-l)

3x-4x+2 _ 2. 2x+9x-3 3

2-x

llx-3

Mivel a körök érintik a koordinátatengelyeket, ezért u=b=r, azaz egyenletük (x-u)2 + (y-u)2 = u2 A rajtuk lévő P(l,2) pont miatt (1-u)2 + (2-u)2 = ü2, ahonnan

ul = 1; u2 = 5.

így a keresett körök egyenlete:

(x-1)2 + (y-1)2 = 1 (x-5)2 + (y-5)2 = 25

A keresett egyenes egyenlete a két kör egyenletének különbségéből jön, azaz x + y = 3.

S = lg4 + lgl +lgf + Igf =lg(4-g"4-4) = lglx0Másképpen: A jól ismert trigonometrikus összefüggésekkel:

, sin 30°

S = lg (4 sin 30’- ■ cos 30’) = lg (4 sin230°) = lg (4- i ) = lgl= 0

8 pont

40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 1801

Az x + y = 3 egyenesnek a tengelyekkel való metszéspontjai

6-3x = 22x-6 12 = 25x

A (0,3); B (3,0), így a levágott háromszög területe

t =

9

16 pont

Megoldás:

A tétel bizonyítása megtalálható a Gábos Adél-Halmos Mária: Készüljünk az érettségire; Matematika (Calibra kiadó) c. könyvben.

x „ü. =0,48 25

8 pont

2438. írjon egy forgáskúpba érintőgömböt! Számítsa ki a gömb és a kúp térfogatának, majd a gömb és kúp felszínének az arányát, és mutassa meg, hogy e két arány egyenlő!

12 pont

Szakközépiskola

2010. Két kör sugara 4,2 cm, illetve 2,6 cm. A közös külső érintők hajlásszöge 33*. Mekkora a közös érintőnek az érintési pontok közé eső szakasza? Mi állapítható meg a két kör kölcsönös helyzetéről?

Megoldás:

Használjuk az ábra jelöléseit!

A BCF derékszögű háromszög területét kétféleképpen felírva:

1456. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A [-3; -1] intervallum hozzá tartozik-e a megoldáshalmazhoz?

Megoldás:

Használjuk az ábra jelöléseit!

m

1 j 1 /

1 / 1 /

i /

V,m-]

1 /

1 1/—

\a

1 fL

i yf

rJ\

l/V R

J\

2x-3 x+1 1 3-x

4 3 2 5

2tßC!F = m r = Ra + Rr, innen R =B

^gömb

3 ^ 71

4R3

4nv’r

T]kúp

TTK m

3

rm

(r+a)3

'Vomb

4R’jt

4R2

4m2r

A kúp

rttír+a)

r(r+a)

(r+a)3

Megoldás:

Mindkét oldalt közös nevezőre hozva, majd 60-nal beszorozva a lOx- 65>12x- 6 alakot nyerjük.

59

Innen a megoldás: x<- ^

A kérdéses [-3, -1] intervallum nem tartozik a megoldáshalmazhoz.

10 pont löst köve3552. Egy háromszög oldalhosszusagai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög kerülete 27 cm, legrövidebb és leghosszabb oldalának a szorzata 65 cm’. Mekkora a háromszög területe?

azaz a két arány valóban egyenlő. ] 4 p0n j

ekkor

KOj02 szög = EjPOj szög = 16,5° és

KOg = R-r = 1,6 cm;

EjE2 = OjK

HIRDETÉS .......- .......

3

501. Mennyi azoknak a 100 é$ 500 közé eső egész számoknak az összege, amelyek 5-iel osztva 3-at adnak maradékul?

Megoldás:

Mivel a legkisebb illetve a legnagyobb ilyen szám a 103 illetve a 498. ezért a keresett összeg: S = 103+108 +.... + 498.

A számtani sorozatra vonatkozó egyszerű képletek miatt:

Megoldás:

A feladat szerint a háromszög oldalai: a- d, a, a+d; de mivel a kerület 27 cm. ezért 3a =27, a = 9 cm.

De így (9-d)(9+d) = 65; d = ± 4 Mivel a- d<a+d, ezért d = 4 lehet.

Azaz a kérdéses oldalak 5,9,13. A terület a Heron-képlet alapján

t=\yfe(s-a)(s-b)(s-c) = 9^ = 16,068

A terület kiszámítható a t = —alapján is, ha a cosinus tételből

cosy-t, majd a shry-t cosy = 1-ból siny-t kiszám ifjúk.

12 pont

Szabad egy útra?

A MALÉV Air Tours körutazások gazdag kínálatát nyújtja az utazással kapcsolatos teljes körű ügyintézéssel, jól felkészült idegenvezetőkkel, a leggyorsabb és legkényelmesebb közlekedési eszközzel: repülőgéppel. ——

Izrael 76.900 Ft Anglia/Skócia 139.900 Ft Dél-Anglia 95.900 Ft Loire-völgyi kastélyok 69.900 Ft

Felvilágosítás és helyfoglalás a MALÉV Air Tours irodában: Budapest V., Roosevelt tér 2. Telefon: 266-6614, 267-4212 és a vidéki MALÉV-képviseleteken:

Debrecen. Győr. Miskolc, Pécs, Szeged

ff““

a iiiiiiEHaimn & j^llllliílllllll^

A TAPASZTALT UTAZTATÓ

v'IrMUsk'Air Tours^

matematika

2652. Egy rombusz területe 266 cm5, átlóinak összege 47 cm. Mekkorák a rombusz szögei?

gyénkben közel

Megoldás:

Mivel a rombusz átlói merőlegesek és felezik egymást, ezért: 2x+2y = 47

hatezer érettségiző diák hajolt a „nagy

t=4 íy =2xv=266

Innen az x+y =23,5

xy = 133 másodfokú egyenletrendszert nyeljük, amit a szokott módon megoldva x = 14; y = 9,5 (ill. x = 9,5, y = 14.)

és kereste a feladatgyűjteményben kijelölt hét feladat

19

De így tga= -X. X ZÖ

a = 34,16°, tehát a rombusz szögei: 68,32° és 111,68°

14 pont

helyes eredményét.

2422. Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írt egyenes körkúp alapkörének sugara 12 cm, alkotója pedig 32 cm?

Lapunk kérésére ifi Szabó Kálmán,

Megoldás:

V = 4/3 Rsit = ?

A kúp magassága:

a miskolci Földes Ferenc Gimnázium tanára is elkészítette a gimnazisták és

m = i/32M25 = 1/880 = 29,66

Az OFB derékszögű háromszögben R2 = 122 + (m-Rf

Innen R = 1024/2m = 1024/8^55 = 1286/55 = 17,26

így a keresett térfogat:

V = 4/3 (1286/55 i1* = 21536,468 cm"

(15 pont)

Hskolávgy cgy lehetséges megoldását.

a diákok, mi pedi

• V 4

: -V .

V V*;

" holnapi

■.. ..v..

.......

k

özöljük a

J V

megoldását.

3270. a és b mely értékeire lesz a 2x-ay-l=0 és a 4x-y+b=0 egyenletű egyenes a/ egymással párhuzamos; b/ egymásra merőleges; c/ azonos?

Megoldás:

Ha a = 0, akkor az egyenesek x = 1/2; y = 4x+b=2+b;

és ezek egymásra merőlegesek, bármely valós b esetén.

Ha a * 0, akkor az egyenesek egyenletei: y = (2 /a)x - 1/a és y = 4x+b

a/ párhuzamosak ha 2/a = 4, azaz a = 1/2, ebben az esetben ha b * -2, akkor

nem esnek egybe, b = -2 esetén egybeesnek.

b/ merőlegesek, ha iránytangenseik szorzata -1, azaz (2/a) 4 = -1, innen a = -8, ekkor b bármely valós szám lehet. d A két egyenes egybeesik, ha a= 1/2 és b=-2.

Összefoglalva: ha a = 0, akkor bármely valós b esetén merőleges, ha a = 1/2 és b = -2 egybeesnek, ha a = 1/2 és b *-2 párhuzamosak, ha a = -8, b bármely valós szám, merőlegesek.

4. Mit jelent az, hagy a valós számokra értelmezett összeadás is szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributfv?

(ópont)

75. Bizonyítsa be a cosinustételt!

(12 pont)

Megoldás:

Az elméleti kérdések megoldása a Gábos Adél-Halmos Mária: Készüljünk az érettségire; Matematika c. könyvben megtalálható.