Állami gimnázium, Eger, 1925
15 145. Bizonyítsuk be, bogy a húrnégyszögben: 1) a szemben fekvő szögek összege 180’; 2) az átlók szorzata egyenlő a szemben fekvő oldalak szorzat fainak összegével. (Ptolomaeus tétele). 146. Adva van egy kör és egy P pont a körben, vagy a körön kívül. Rajzoljunk a P ponton át két egyenest, melyek egyike a kört Hí és fl2, másika pedig Bj és Bo pontokban metszi s bizonyítsuk be, begy PAj. PA2 = PB1. PB2. (Ha külső pont esetében Aj és A2 egybeesik — azaz P Ax érintő —, akkor PAt2, PBj. PB2.) 147. Adott r sugarú körhöz a középpontjából cl távolságra levő pontból olyan szelőt kell húznunk, melynek a körön belül és a körön kívül levő része egyenlő. Mekkora ez a szelő? (Legyen: r = 7, d = ll cm.). 148. Két kör sugara R és r, középpontjaik egymástól való távolsága d, milyen távolságra van 1) a külső, 2) a belső hasonlósági pont az r sugarú kör középpontjától ? 149. Mekkora a körbe és a kör körül írt szabályos hatszögek területeinek aránya ? 150. Egy derékszögű háromszög oldalai a, b, c (c az átfogó), mekkora a háromszög körül és a háromszögbe írt ltör sugara (r ill. p) ? 151. Ha a derékszögű háromszögbe írt kör sugara p, a körülírt kör sugara pedig r, mekkorák a háromszög oldalai ? 152. Az egyenlőszárú derékszögű háromszögbe írt kör sugara p, mekkorák a háromszög oldatai (1. a 150. feladatot) ? 153. Két egymást metsző kör sugara r, illetőleg r] 3 centrális távolságuk 2r. Mekkora a két kör között levő terület ? 154. Egy derékszögű háromszög átfogója és befogói fölé félköröket raj» zolunk. Mekkora az így keletkező két boldacska (Hippokrates botdacskái) együttes területe ? 155. Háiom egyenlő (r) sugarú kör érintkezik. Mekkora a körök között fekvő idom területe? 156. Adott r sugarú kör középpontjától 2r távolságra levő pontból húz» zunk a körhöz érintőket. Számítsuk ki: 1) az érintők hosszát; 2) az érintési pontokat összekötő búr hosszúságát; 3) az érintők és az érintési pontokba húzott sugarak alkotta deltoid területét; 4) az érintési pontokat összekötő búr és a körív határolta körszegmentum területét. 157. Egy félkör átmérője AB = 2 r, középpontja 0. A0 és BO fölé köríveket rajzolunk. Számítsuk ki: 1) a három félkört érintő kör sugarát, 2) e kör érintési pontjaival megbatározott háromszög oldalait, á) ezen háromszög területét. 158. Egy félkör AB átmérőjén vegyünk fel egy C pontot s ebben emeljünk az átmérőre merőlegest, melynek adott hosszúsága legyen a. Az AC és CB távolságok fölé is rajzoljunk egy-egy félkört. Mekkora a három félkör között levő terület?
