Állami gimnázium, Eger, 1907

*

XVI. Függvények maximuma és minimuma.

Valamely függvény menetének szemlélhető 'képét a függvény grafikus ábrázolása által nyerjük. Ha az y - f(x) függvény geometriai képe a PD görbe (12. ábra); úgy a görbe emelkedése, illetőleg alászállása közvetlenül mutatja, hogy a független változó nagyobbodásával a függvény értéke nagyobbodik-e vagy kisebbedik. P pontnál pl. nő a függvény, A-nál fogy, /?-nél nő. .4 és C pontban a függvény növekedésből fogyásba megy át; B és D pontokban fogyásból növekedésbe. Az A, B, C, D pontokban tehát a függvény szélső értékeit veszi fel, még pedig A és C pontokban a maximumát, B és D pontokban a minimumát, a mennyiben az A és C pontokban a függvény értéke nagyobb, B és D pontokban pedig kisebb mint a környezetben levő bármely pontban. Ezen értelmezés szerint tehát relativ maximumról és minimumról van szó, mint azt az ábra is mutatja, sőt pl. D minimális helyhez tartozó függvényérték nagyobb, mint az A maximális helyhez tartozó.

Vizsgáljuk most meg, hogy hogyan következtethetünk ezen esetekre a görbe egyenletéből. Könnyen belátható, hogy valamely x helyen a függvény akkor nő, ha a független változó x-nél nagyobb x-J-Ax értékéhez nagyobb függvényérték is tartozik, azaz ha /(x-f- Ax) >/(x), tehát ha az / (x -} Ax) — /(x) kiilömbség pozitív. Éppen így a függvény az x helyen, akkor fogy, ha /(x-j- A*) </(x), tehát ha az/(x-f-A x) —/(x) külömb- ség negativ. Ha e külömbségeket a pozitív Ax-szel osztjuk, akkor az így nyert hányadosoknak, sőt azok határértékének a Ax = o esetben is (mivel a függvény változását éppen valamely hely környezetében vizsgáljuk) a függvény növekedése esetén pozitívnak, fogyása esetén pedig negatívnak kell lennie. De

lim /*(+y~/W = dy

úgy, hogy kimondhatjuk a következő tételt: Ha az /(x) függvény differenciálhányadosa valamely helyen pozitív, akkor a függvény az illető helyen növekszik, ha pedig a differenciálhányados negativ, akkor a függvény az illető helyen fogy. Pl. az y = t^x függvény- 40 —