Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Orosz Gyuláné: Közös elemek lineáris rekurzív sorozatokban

tagjához található egy z egész szám, ugy hogy Cz;y>= ;N

v | egy megoldása a z

2-Cl>+p>y

2=l egyenle tnek. Tehát ha vannak az M ós N sorozatoknak közös elemeik, akkor az C5> x

2 - L)y

2 = 1 z

2 - CD+p)y

2 = 1 egyenletrendszernek legalább annyi Cx;y;z) egész számhármas megoldása van, amennyi a különböző közös elemek száma. Elég tehát azt bizonyítani, hogy az C533 egyenletrendszernek legfeljebb két megoldása van y**0 feltétellel. Tegyük fel, hogy Cx,y,z> ©gy megoldása CÍO-nek. Ekkor x

2-Dy

2=z

2-CI)+p)y

2 és igy Có) x

2+py

2=z

2 , továbbá nyilván (x,y)=(z,y)=l ezért Cxjyjz) a C6> egyenlet páronként relativ prim, primitiv megoldása. Cx,z)>l esetén plCx^jZ^Í és pjy következne, ami ellentmond az előzőeknek. Először azt. az esetet v lz5*gál Juk, ha p"2, ekkor í-1) C7> x

2+2y

2=z

2 alakú belátható, hogy (75 primitiv megoldásai x = |u

2-2y

2 j , y

s

a2uv, z»u

2+2v

2 alakúak, ahol u,v relativ prim egészek és u páratlan. Ezeket az értékeket (5) első egyenletébe irva ju

2-2v

2]

2 - 4Du

2v

2 » 1 adódik, ami C8) ^u

2—C2+2D) v

2J 2- (oD+4D

2]v

4 •» 1 alakra hozható. De ismert, hogy az x

2-Dy*-l alakú